CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE

sphère continuant à se dessécher, d'autres points viendront successivement à fleur d'eau; à chacun de ces sommets correspondront des normales de même nature que nous nommerons noimales maxima. Les ilôts ainsi formés viendront bientôt se rejoindre; aux points de jonction des îles correspondront encore des normales, mais pour celles-ci la sphère décrite du point G sera en partie extérieure, en partie intérieure à la surface, et pour les orientations correspondantes ce point sera compris entre les deux métacentres; nous nommerons ces normales des normales mixtes. Enfin, les îlots en se réunissant formeront des lacs qui se subdiviseront en d'autres plus petits et finiront par s'assécher; aux points d'assèchement correspondront des normales que nous appellerons normales minima; en ces points la sphère tangente sera intérieure à la surface; par conséquent, pour les orientations suivant ces normales, le point G sera au-dessous du petit métacentre. Les positions d'équilibre stable seront celles pour lesquelles ces normales seront verticales et dirigées en bas.

On voit, d'après cette image, qu'il y a toujours au moins une normale maxima et une minima, c'est-à-dire une position d'équilibre instable et une stable.

Oscillations du corps ébranlé, puis abandonné à lui-même. — Considérons la surface podaire de la surface limite (G) par rapport au centre de gravité, c'est-à-dire le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées du point G sur les plans tangents.

D'après ce qui précède, les normales menées du point G à cette podaire sont les mêmes que les normales menées du point G à la surface du corps, et les normales communes sont de même nature (maxima, minima ou mixtes). De plus, chacun des rayons vecteurs GH de la podaire (Jig. 32i) représente la hauteur du centre de gravité au-dessus du plan d'appui quand le corps est orienté suivant GH.

Ceci posé, plaçons le corps sur le plan fixe dans une position quelconque où le centre de gra\ité est à une hauteur h0 au-dessus du plan et imprimons-lui un mouvement initial dans lequel les divers points ont des vitesses ç0, puis abandonnons-le à lui-même. A l'instant t, la hauteur du centre de gravité sera devenue h et les vitesses des divers points seront v. Appliquons au mouvement le théorème des forces vives de l'instant initial à l'instant t, en remarquant que le travail du poids P est — P(/i — h0) et en désignant par Sp le travail des résistances passives qui, nul au début, est

essentiellement négatif, nous aurons

^ m v* - l- 2 mv l = - P ( h - h o ) -4- £ P ,

Le terme ©p étant négatif et croissant en valeur absolue avec t, le premier membre de l'équation va en diminuant; ce qui revient à dire que l'énergie du système diminue à cause des résistances passives. Introduisons une longueur A par la condition

P k = -Vm^+P/io+Sp;

cette longueur k va en diminuant avec le temps; l'équation des forces

vives

Ph= PA

mv

montre d'ailleurs qu'on a, à chaque instant,

La hauteur h du centre de gravité dans les oscillations du corps a donc une limite supérieure A" qui va sans cesse en diminuant. Employons alors, à l'égard de la surface podaire, la même image que plus haut pour la surface du corps. Si l'on considère une sphère liquide de centre G et de rayon A, tous les rayons vecteurs de la podaire plus petits que A tombent dans un des lacs déterminés par cette sphère et la podaire. Or dans les oscillations du corps, la distance h du centre de gravité au plan tangent horizontal fixe est inférieure à A; à chaque instant, l'axe d'orientation du corps est donc compris dans l'un des cônes ayant pour base l'un des lacs déterminés dans la podaire par la sphère de rayon A. L'absorption de l'énergie, par les résistances passives, aura pour effet d'assécher progressivement ce lac, qui pourra se subdiviser en lacs de plus en plus petits, dont l'un contiendra nécessairement l'axe d'orientation; finalement le corps viendra se fixer au repos suivant l'axe d'orientation qui correspond à la normale minimum aboutissant au fond du dernier lac.

Mesure de la stabilité d'une position. — Supposons le corps dans une position d'équilibre stable où la distance du centre de gravité au plan horizontal fixe ait une longueur /. Dans cette position initiale lançons le corps, nous aurons

^mc»+PA= -Ym^ + P/+Sp