CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE. 2l
de gravité du liquide quand le cylindre est dans la première position aBv8. Décomposons le liquide en éléments de volume de poids p et d'ordonnées z, et appelons en particulier p{ et Z\ le poids et
Fiw. 322.
l'ordonnée de l'élément placé en ajâa'p'. Le théorème des moments donne
Une fois le cylindre enfoncé jusqu'en a'p', la disposition du liquide est la même que si le liquide qui occupait primitivement l'élément aj3a'(3' était supprimé et versé sur la surface libre où son ordonnée deviendrait zK -f- /, tous les autres éléments de poids p et d'ordonnées z restant dans les mêmes positions. Soit Ç'-hSÇ7 la nouvelle ordonnée du centre de gravité du liquide; on a
d'où, en retranchant et remarquant que pK, poids de l'élément
afia'P', est égal à tbAo-,
P\l mil 1 wv .
p' 2 p> ~~ ll p' »
la formule est ainsi démontrée pour ce cas.
On l'établit de même pour le cas d'un cylindre entièrement immergé abcd qu'on enfonce de A, de façon à l'amener de abcd en a' b' c' d! (ftg. 32a). Si, conservant les notations précédentes, on appelle / la longueur totale du cylindre, le volume immergé est V = <rl : dans la position abcd du cjlindre, le z du centre de gravité du liquide est encore donné par la formule (3) où pK et zK se rapportent à l'élément aba' b' . Une fois le cylindre enfoncé, la
disposition du liquide est la même que si l'élément liquide aba'b était supprimé et transporté en cdc' d' où son ordonnée deviendrait Z\ + /, tous les autres éléments restant dans les mêmes positions. La nouvelle ordonnée du centre de gravité du liquide est donc encore donnée par la formule (4), d'où résulte la même valeur
(5) pour 8Ç\
Il est maintenant facile d'établir le même résultat pour un flotteur de forme quelconque que l'on enfonce verticalement d'un mouvement de translation d'une quantité infiniment petite h : on peut toujours décomposer ce flotteur en cylindres élémentaires verticaux de sections infiniment petites (fig. 822) : appelons v{, ç2y • • •> Vu les volumes des parties immergées de ces cylindres. Au lieu d'enfoncer le flotteur tout d'une pièce de h pour voir l'effet produit sur le centre de gravité du liquide, on peut enfoncer successivement de h tous les cylindres élémentaires. Mais, d'après ce qui précède, en enfonçant le premier cylindre, on fait monter le
centre de gravité du liquide de h -vjr', en enfonçant le deuxième, on le fait monter de h-~-> • • • • Quand tous les cylindres sont enfoncés, le centre de gravité du liquide est monté de
h p <>i -+- v% H- • . . 4- v,i ) = h -pï- >
V désignant le volume immergé : c'est ce que nous voulions établir.
Voyons enfin quelle est la variation du z du centre de gravité de tout le système quand on enfonce le flotteur d'une quantité infiniment petite h. En désignant par Z le z du centre de gravité de tout le système, par Ç et 'Q les z des centres de gravité du flotteur et du liquide, on a
(6) (P + P')Z = PÇ-*-P'Ç\ Si l'on enfonce le flotteur de A, on a
Donc, en différentiant la relation (6),
(Ph-P')8Z = h(mY:— P), où V est le volume immergé du flotteur.
