CG<J
Il pourra, bien entendu, exister d'autres positions d'équilibre, correspondant à des normales issues de G non contenues dans le plan de symétrie.
4° Cylindre de révolution homogène. — Soit un cylindre de révolution homogène dont le rayon de base est «, la hauteur 2 A et la densité égale à la moitié de celle du liquide. Le volume immergé est alors la moitié du volume du cylindre et la surface (F) se réduit au point G, milieu de la hauteur, qui est le centre de gravité du cylindre.
La surface (C ) est évidemment de révolution autour de l'axe du cylindre, et elle admet comme plan de symétrie (plan de l'équateur) le plan mené par G perpendiculairement à l'axe. Pour mener de G des normales à cette surface de révolution, il suffit de mener de ce point des normales à la méridienne. Cette méridienne a pour centre le point G; elle admet comme axes de symétrie, l'axe du cylindre et la perpendiculaire à l'axe menée par G; elle a là une forme ovale comme une ellipse. En coupant le cylindre par un plan passant par l'axe, on obtient un rectangle dont les diagonales se coupent en G : les portions de méridienne situées dans les angles des diagonales qui comprennent l'axe sont formées de deux arcs de parabole dont les points correspondent aux flottaisons qui ne coupent pas les bases du cylindre; les portions de méridienne situées dans les deux autres angles des diagonales sont des arcs d'une courbe transcendante se raccordant avec les arcs de parabole; les points de ces nouveaux arcs correspondent aux flottaisons qui coupent les bases.
En prenant les deux axes de symétrie de la méridienne, on a immédiatement deux normales menées du point G à la surface (C) :
i° L'axe du cylindre;
i° Un rayon de l'équateur de la surface (G).
A ces deux normales correspondent deux positions d'équilibre possibles, d'ailleurs évidentes a priori, une position dans laquelle les génératrices sont verticales et une position dans laquelle les génératrices sont horizontales.
Voyons dans quels cas elles sont stables :
Première position : Génératrices verticales. — Le cylindre étant im-
mergé verticalement, le centre de carène G est au milieu de la hauteur immergée h : CG est donc égal à \h. La flottaison correspondante est un cercle de rayon a et de centre G : le moment d'inertie de cette flottaison par rapport à un axe GX passant par son centre dans son plan est
tous ces moments sont égaux. Le volume immergé V est d'ailleurs ira2 A; on a donc, pour la condition de stabilité,
rn ^ lo h 1 a2 as/-!
Deuxième position : Génératrices horizontales. — Le plan de flottaison passant alors par l'axe, le centre de carène G coïncide avec le centre de gravité du demi-cercle immergé de la section droite menée par G; on
a donc, pour la distance GG, la valeur — .
La flottaison est un rectangle de centre G et de côtés ia et ih : les axes principaux d'inertie de la flottaison sont l'axe du cylindre et la perpendiculaire à cet axe menée par G. Le moment d'inertie de la flottaison, par rapport à l'axe du cylindre, est
I = - ha\ et, par rapport à la perpendiculaire,
l'=±ah*.
Les deux métacentres correspondants m et M [centres de courbure principaux de la surface (G)] sont à des distances de G données par
CM
L'un des métacentres m est donc précisément au point G, ce qui est évident, car, la surface (G) étant de révolution, l'un des centres de courbure principaux est sur l'axe de révolution. Pour que l'équilibre soit stable, il faut que le métacentre qui coïncide avec G soit le petit métacentre, c'est-à-dire
Cm < CM, h > a.
Autres positions. — Outre ces deux positions d'équilibre évidentes par raison de symétrie, il peut en exister deux autres correspondant à des nor-
hï
Tza
