Équilibre d'un fluide dans le cas général où l'on a

X dx -+- y dy + Z dz = <p d'-p, ^ et cp étant des fonctions données de x, y, z. — L'équation d'équilibre est alors

dp — pty dy.

Elle montre que p est fonction de cp seul, car dy étant nul, dp l'est aussi. Soit alors

l'équation donne

Enfin, la relation caractéristique donne x.

2. Centre de pression d'une aire plane triangulaire ABC. — Appelons a, J3, y les distances des sommets A, B, G à la trace du plan de charge sur le plan de la paroi : le centre de pression eoïncide avec le centre de gravité de trois masses :

L'une, 2a + p + y, placée en A ;

L'autre, 2 £ -+- y -\- a, placée en B;

La troisième, 2y -+- ce -+- J3, placée en C.

3. Pression d'un liquide pesant sur une portion de paroi plane ayant la forme d'un trapèze à bases horizontales. — Appelons a la base supérieure, b la base inférieure, h la hauteur du trapèze, c la distance de la base supérieure à la trace du plan de charge sur la paroi. La distance du centre de pression à cette même trace est

/i:(ffl+36) + 2 hc ( a + 2 b ) 2 h (a -+- 26) + bc(a -+- b)

(Bour, Mécanique, IIIe fasc, p. 292.)

4. Étant donnée une aire plane de forme et de grandeur déterminées, à laquelle on fait occuper diverses positions sur une paroi plane immergée dans un liquide pesant, démontrer que le centre de pression sur cette aire est, dans chaque position, le pôle de la droite d'intersection D du plan de charge et du plan de l'aire par rapport à une certaine ellipse imaginaire E attachée à l'aire : cette conique

a pour centre le centre de gravité G de l'aire et pour axes les axes principaux d'inertie de l'aire par rapport à G; soient Gx et Gy ces axes, l'ellipse E a une équation de la forme

On peut dire aussi que le centre de pression est le symétrique par rapport à G du pôle de D par rapport à l'ellipse réelle

conjuguée de la précédente. Cette propriété a déjà été indiquée à propos des centres de percussion d'une aire plane {Exercices sur le Chapitre X, exercice 32).

5. Pressions sur un vase sphérique. — Soit un vase sphérique, dont le rayon est om, i, entièrement rempli d'eau à son maximum de densité; le vase est, à sa partie supérieure, percé d'une ouverture infiniment petite qui fait communiquer le liquide avec l'atmosphère : la surface libre de l'eau est alors le plan S0 tangent à la sphère au point le plus haut.

Calculer en kilogrammes la résultante des pressions : i° Sur l'hémisphère inférieur; 2° Sur l'hémisphère supérieur; 3° Sur la sphère entière.

6. Deux liquides homogènes, de densités p et pt et de volumes V et V,, sont superposés dans un vase ayant la forme d'un cylindre de révolution à génératrices verticales. Le liquide supérieur p est simplement pesant; le liquide inférieur p, est pesant, mais, en outre, ses éléments sont attirés par le centre O du fond du vase proportionnellement aux masses et aux distances, l'attraction du point O sur l'unité de masse à l'unité de distance étant a. Déterminer la figure d'équilibre et la loi des pressions.

Réponse. — Prenons comme origine O, comme axe Oz une verticale ascendante :

Liquide supérieur. — Surface libre z = C; pression p = pa H- pg (C— z), pa désignant la pression atmosphérique. La constante C est déterminée par la condition que le volume total est V -f- Vr

Liquide inférieur. — On a, en appelant pl la pression,

dpx = — Pxgdz — a ( x dx -+- y dy -t- z dz ), pi== C' — 9l gz — { a (x2 -h y2 -h z2),

C désignant une constante; les surfaces de niveau sont des sphères concentriques.

Surface de séparation. — Sur cette surface, on a p = />, :

P* + Pg(Ç~—-*) = C'-p{gz-±a{x2 + y2 + z2);

c'est une sphère dont le centre est sur Os.

On déterminera C en écrivant que le volume détaché par cette sphère dans le cylindre est Vt.