CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE

7. Problème d'Euler. — La surface de séparation de deux fluides pesants en contact est horizontale quand ils sont en équilibre tous les deux. Mais si l'un d'eux est en mouvement et l'autre en équilibre, cette surface cesse d'être horizontale. On en a un premier exemple dans la surface de séparation de l'air supposé immobile et d'un liquide homogène pesant animé d'un mouvement de rotation uniforme autour d'un axe vertical ; la surface de séparation est un paraboloïde, comme nous l'avons vu au n° 632.

Voici un deuxième exemple, dû à Euler, clans lequel le liquide est immobile et l'air en mouvement :

Imaginons un canal plein d'eau, limité latéralement par deux plans verticaux parallèles P et P', fermé à une de ses extrémités par une paroi rigide et ouvert à l'autre. Puis supposons que, pour empêcher l'écoulement de l'eau par l'extrémité ouverte, on lance horizontalement dans le sens de la longueur du canal, de façon à repousser l'eau, un courant d'air uniforme de vitesse V.

On demande de chercher si l'eau peut se mettre en équilibre dans ces conditions, en admettant, par raison de symétrie, que la surface libre de l'eau prend la forme d'un cylindre dont les génératrices sont perpendiculaires aux parois P et P' du canal; on admet, en outre, que la pression du courant d'air sur chaque élément de surface de l'eau est normale à l'élément et proportionnelle au carré de la composante normale de la vitesse de l'air.

Réponse. — Il suffît évidemment de connaître la section droite S de la surface cylindrique de l'eau. Soient, dans le plan d'une section droite, Ox un axe horizontal estimé positivement en sens contraire de la vitesse V du vent, Osun axe vertical descendant, a l'angle que fait avec Ox la normale à la courbe S en un point M(x, z) de cette courbe. L'eau étant un liquide pesant en équilibre, la pression en un point et en particulier au point M, est donnée par

D'autre part, la pression du vent sur l'élément superficiel placé en M, rapportée à l'unité de surface, est, par hypothèse,

p = kv2 cos2 a.

L'élément superficiel étant en équilibre, ces deux pressions sont égales :

pgz -+- Cte = kv2 cos2 a.

D'où, en choisissant convenablement la hauteur de l'origine 0,

z — a cos2 a.

Cette équation définit la forme de la section droite S.

En remarquant que

dx = dz tan g a,

on exprime x en fonction de a et l'on reconnaît que la section droite est une cycloïde.

8. Corps flottants. Carènes complémentaires. — Dans tout flotteur fermé, une même flottaison détache deux carènes dites complémentaires .

Les surfaces (F), correspondant à deux carènes complémentaires, coïncident. Les surfaces (C), correspondant à deux carènes complémentaires, sont inversement homothétiques par rapport au centre du volume total.

Lorsqu'un flotteur homogène de densité S peut flotter en équilibre, dans une certaine position, sur un liquide de densité d, un flotteur égal et homogène, de densité 8' = d — 8, pourra flotter dans la position correspondant à la carène complémentaire. (Guyou, Théorie du Navire, Chap. III. — Greeniiill, Treatise on Hydrostatics, p. 180. )

9. Stabilité des corps flottants. — Prisme triangulaire isoscèle homogène flottant horizontalement. — Nous ne considérerons qne les deux positions données par la symétrie : la face latérale, qui est seule de son espèce, est supposée horizontale; alors l'arête opposée peut être immergée ou non. Nous appellerons 2cp l'angle au sommet de la section droite, 8 la densité du flotteur, d celle du liquide.

Conditions de stabilité de V équilibre V arête en bas :

6 > d cos4cp.

L'arête en haut :

8 < d(i— cos''cp).

Il peut arriver qu'aucune de ces positions ne soit stable; alors le prisme ne peut flotter dans aucune des deux positions. Il existera nécessairement d'autres positions stables dans lesquelles les arêtes sont verticales ou inclinées. ( Guyou, loc. cit., p. /|6.)

10. Une canne cylindrique homogène, de longueur 2 h et de rayon a, possède une densité |, la densité de l'eau étant i. A l'extrémité de la canne, on fixe un point matériel et l'on demande quel doit être le poids de ce point pour que la canne flotte verticalement?

11. Exemples de surfaces de flottaison. — i° Soit un flotteur ayant la forme d'un tétraèdre ABCD : trouver l'enveloppe des plans de flottaison rencontrant seulement trois arêtes telles que DA, DB, DG.

Réponse. — En prenant ces trois arêtes comme axes coordonnés, on voit que l'enveloppe a pour équation

xyz = k.

2° Soit un cylindre à base quelconque : trouver l'enveloppe des plans de flottaison rencontrant seulement les arêtes latérales.

Réponse. — L'enveloppe est un point. Cela résulte de ce que, dans un cylindre tronqué, la droite joignant les centres de gravité des deux bases O et O' est parallèle aux génératrices, et que le volume du cylindre tronqué égale le produit de la section droite par 0 0'.

12. Exemples de surfaces de centres de carène. — Déterminer les portions des surfaces (C) correspondant aux deux espèces de carènes de l'exercice précédent :

i° Pour les carènes déterminées par des plans coupant les trois arêtes d'un trièdre, la surface ( G ) a pour équation

27 7 œyz = ^ k.

2° Pour les carènes déterminées par les plans coupant les génératrices d'un cylindre quelconque, la surface (C) est une portion de paraboloïde elliptique dont l'axe est parallèle aux génératrices.