III. i

k surfaces fixes £,, S2, ..., Sk, de telle façon qu'à chaque instant les plans tangents à ces surfaces aux points considérés soient parallèles.

Désignons par a,, a2, ..., ak des constantes positives ou négatives dont la

somme

a =r ax -+■ a% -+- . . . h- . . . aj.

n'est pas nulle, et considérons le centre G des moyennes distances de masses av a2, . . ., ak, placées en C1} C2, . . ., Cfe. Ce point C décrit une surface 2.

i° Le plan tangent à S au point C est parallèle aux plans tangents aux surfaces S1} S2, . . . , St aux points C1? C2, . . . , Cfc.

2° Déplaçons infiniment peu le groupe des points C-, de façon à les amener en C'u C,', . . ., C'k : le point C vient en C.

Appelons u.p [x2, . .., \ik et \i les métacentres des surfaces E,, 22, . . ., £t et E correspondant à ce déplacement. (Le point jj-j, par exemple, est le pied de la perpendiculaire commune à la normale en G, et à la normale en C, à la surface £, ). Démontrer que l'on a

a.C\i — al.Cl [x, -f- a2. C2 [jl2 4- . . . + afc . Gt u-t.

La démonstration se fait en construisant une figure analogue à 3i8, en remarquant que tous les triangles analogues à Du.c' {fig. 3i8), à savoir:

DiP-iCn D2[x2c'2, ..., DkiLkc'/c,

sont semblables, et que l'on a

a. De' = al.l)lc'l +...-(- ak.T>kc'/c-

Cette dernière relation résulte de ce que les quantités De' D,c',,..., Dkc'^ peuvent être regardées comme les variations des abscisses des points C, C1; . . ., Ck quand ils passent de la première position à la deuxième. (Journal de l'École Polytechnique, p. ioi et suiv., 5e cahier; 1900).