CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE. 22rJ

13. Soit une surface courbe quelconque (C) ; soient G et C deux points infiniment voisins pris sur cette surface, CN et G'N' les normales en ces points (fig. 317), [xu/ la perpendiculaire commune à ces deux normales. Le pied u, de cette perpendiculaire sur CM est le métacentre correspondant au point G.

Démontrer que [x est le centre de courbure, en G, de la section droite du cylindre circonscrit à la surface (C) et ayant ses génératrices parallèles à jxjx', c'est-à-dire à l'axe d'inclinaison.

14. Surface des centres des tranches isocarènes ou surface (T). — Soient un premier système de plans de flottaison FL détachant des carènes de volume V, (C) la surface des centres de carène correspondante; soient ensuite un deuxième système de plans de flottaison FjLj détachant des carènes Yl = V + AV, (C() la surface des centres de carène correspondante ; si l'on prend un plan quelconque FL du premier système et le plan parallèle FjLj du deuxième, les tranches de volume constant AV, comprises entre ces deux plans, sont des tranches isocarènes.

Soient T le centre d'une de ces tranches et (T) le lieu des points T : cette surface (T) est la surface des centres des tranches isocarènes.

Théorème I. — Le plan tangent à la surface (T), en un point quelconque T, est parallèle aux flottaisons correspondantes.

Théorème II. — Soient FL et FtLt deux flottaisons parallèles détachant dans le flotteur des carènes'de volume V,V + AVef une tranche de volume A V; soient C, C,, T les centres des deux carènes et de la tranche. Prenons, comme dans la fig. 3i8, deux positions F'L' et F', L' des flottaisons infiniment voisines des deux premières : les points C, Cu T prennent des positions C', C',, T'. Soient OX et C^Xj les droites d'intersection des plans FL et F'L' d'une part, FtLt et F'd L', d'autre part; appelons I et It les moments d'inertie des flottaisons FL et FXLX par rapport à OX et OtXj respectivement. Supposons que, comme dans la fig. 3i8, on projette sur un plan perpendiculaire à OX et OtX,. Menons aux points G et G', Cv C',, T, T' des normales aux surfaces respectives (C), ( Cl ) et (T). Soient \i, u.v t les métacentres correspondant aux trois surfaces. On a, d'après le texte,

r - l r Ii.

L, [J. — -, LufXj — — ,

démontrer que

l~ Vi-V ~ AV

Théorème III. — Si l'on suppose que AV soit infiniment petit, la flottaison FjLj est infiniment rapprochée de FL, le point T, centre de la tranche, a pour limite le point 0, centre de la flottaison FL, la surface (T) se confond avec la surface de flottaison ( F ) ; la distance T t du point T au métacentre de la surface (T) devient la distance Oo du point O au métacentre de la surface (F), et l'on a

.. AI dl

Cette formule donne les éléments de la courbure de la surface ( F).

(Guyou, loc. cit., p. 34-35. — Greenhill, Hydrostatic.)

15. Généralisation des théorèmes précédents. — Soient des points Cv C2, . .., Ck, en nombre quelconque k, décrivant respectivement, d'une manière continue,