I. - GÉNÉRALITÉS

662. Formules de transformation. — Imaginons une portion continue de matière occupant à l'instant t une certaine région 31 de l'espace, et supposons que les divers points de ce milieu matériel se mettent en mouvement de telle façon que le milieu reste continu; à l'instant t{ >> £, le milieu occupera une certaine région Si{ de l'espace.

Prenons trois axes rectangulaires Ox, Oy, Oz. Appelons x,y, z les coordonnées d'un point P (fig. 324) du milieu Si à l'instant t) ce point se met en mouvement, suit une certaine trajectoire et, à l'instant t{ , il occupe une position V{ de coordonnées x{,y{ , zx dans le milieu Ht. Un point P' voisin de P suit une trajectoire voisine de celle de Pet, à l'instant tK , occupe une position P', voisine de celle de P4 ; et ainsi de suite, pour tous les points du milieu Si.

•2lS ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

Les quantités x^ y{, zK sont évidemment des fonctions de x,

y, z et tK :

(i) cei=f(cefy,z,ti), yx =/i(a?, y, z, t{ ), *i=/2(#, y,z,h)m,

ces fonctions sont uniformes et continues dans l'intérieur du milieu primitif, et, inversement, x, y, z sont des fonctions uni-

Fig. 32/j.

formes et continues de x^ y\, z{ dans le milieu transformé; à chaque point du milieu primitif correspond ainsi un point du milieu transformé, et inversement,, Pour /, — £, xK, yK, Z\ prennent les valeurs respectives x, y, z.

Ce mode de transformation se présente dans la théorie du mouvement des fluides et dans la théorie de l'élasticité.

Les relations (i) définissent la transformation continue de la région SI de l'espace dans la région il,. On peut aussi se représenter cette transformation par l'image géométrique suivante qui la rattache à la théorie des champs de vecteurs :

Portons notre attention seulement sur les positions initiales P{x, y, z) et les positions finales P4 (x\ , y K , zK ) des divers points : les segments tels que PP{ c'est-à-dire les déplacements des divers points du milieu «81, forment un champ continu de vecteurs : les origines de ces vecteurs sont les divers points de la région initiale <R et leurs extrémités les points correspondants de la région «&<. Désignons par u, V, w les projections sur les axes du vecteur PP1?

(PPi)

u = xx

v=yi- y,

les quantités u, V, w sont évidemment, comme x{, yu zK, des fonctions uniformes et continues de x, y, z dans toute l'étendue du milieu primitif dl. On pourra appliquer à ces vecteurs PP1 , définissant la transformation, toutes les propositions relatives aux champs continus de vecteurs (Ghap. XXVIII).