CHAPITRE XXXII. — DÉFORMATION D'UN MILIEU CONTINU. 22Q

663. Lignes et surfaces transformées. — Voici quelques conséquences immédiates de la continuité.

Si l'on considère, dans le milieu primitif <&, une suite de points disposés sur une ligne continue L, les nouvelles positions de ces points dans le milieu transformé Si K à V instant tK, sont encore sur une ligne continue L,, transformée deh.

En effet, le long de L on peut exprimer les coordonnées d'un point P de cette ligne en fonctions continues d'un paramètre \

(1) a? = cp(X), y — <pi(X), 3 = cp2(X)

de telle façon que à variant de a à p, on obtienne successivement tous les points de L, la valeur A = a donnant une extrémité de la ligne et \ = (3 l'autre. D'après les formules (i), où tK a une valeur numérique et où l'on remplace x, y, z par les expressions (2), xK, yi: z{ sont aussi des fonctions continues de \) quand \ varie de a à p, le point V^{x^ yK , z{) occupe donc successivement, dans le milieu transformé Si{, les divers points d'une ligne L1 dont les extrémités correspondent à ~k = a, X = (3. Les lignes L et L{ se correspondent point par point.

Si la ligne L est fermée, la ligne L{ V est aussi.

En effet, dans cette hypothèse, les deux extrémités de L sont confondues en un même point qui est obtenu à la fois pour À = a et \ — (3 : les deux extrémités de L, sont donc aussi confondues, et L{ est fermée.

Si V on prend, dans le milieu primitif Si, un ensemble de points disposés sur une surface continue S, les nouvelles positions de ces points, dans le milieu transformé SiK, sont encore sur une surface continue Si; transformée de S.

En effet, le long de S on peut exprimer les coordonnées d'un point P de cette surface en fonctions continues de deux paramètres \ et [j.

(3) a?=cp(X,fx), j = cp1(X, p), * = oa(X,îA).

D'après les formules (1), où l'on remplace x, y, z par ces expressions, xK , yK , zK sont des fonctions continues de \ et {/., et le point P1 appartient à une surface S<. A la ligne L qui limite le

23o ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

feuillet formant la surface S correspond une ligne L1 limitant S,. Les deux surfaces S et S< se correspondent point par point.

Si la surface S est fermée, la surface S| V est aussi, et à un point P de l'intérieur de S correspond un point VK de l'intérieur de Si et réciproquement.

En effet, pour qu'un feuillet S d'abord limité par une ligne L devienne une surface fermée, il suffit de déformer le contour L de façon à le réduire finalement à un point; dans ces conditions, le contour L, de S< se réduit aussi à un point et cette surface est aussi fermée.

Quant à la seconde partie de l'énoncé, on la démontre comme il suit : Soit P un point pris dans l'intérieur d'une surface fermée S du milieu initial : les points situés d'abord sur S se déplacent de façon à être, à chaque instant t' compris entre t et tit sur une surface mobile S' qui correspond point par point à S et qui, à l'instant tK , occupe la position S,. Le point situé d'abord en P dans S se déplace en même temps; il reste constamment dans la surface mobile S', car s'il en sortait, il existerait un instant t' où il serait sur la surface S' en un certain point P'; ce qui est en contradiction avec ce fait que les surfaces S et S' se correspondent point par point, puisque au point P7 situé sur S' correspondrait, dans le milieu primitif, un point P non situé sur S.

664. Équation de continuité. — On appelle équation de continuité une relation qui exprime que la masse d'un élément infiniment petit du milieu est la même avant et après la déformation. Appelons p la densité en un point P du milieu primitif SI : p est une fonction uniforme et positive des coordonnées œ, y, z du point P. A l'instant tK le point P occupe la position P \ (xti yK) zt) : appelons p< la densité du milieu transformé <ft4 en ce point; p, est une fonction uniforme et positive des coordonnées x^ yiy z{. Désignons par D le déterminant fonctionnel

dxy dxi dx\

ôx ùy dz

dJi di± di±

àx Oy dz

dz\ dzi dz\

ôx Oy dz