CHAPITRE XXXII. — DÉFORMATION D'UN MILIEU CONTINU

Significations géométriques particulières des coefficients z^ , s2, £3 ; dilatations des éléments primitivement parallèles aux axes de coordonnées. — Imaginons un élément PP'= ds issu de P et parallèle à Ox : appelons o, son coefficient de dilatation. Si l'on désigne par ds{ la longueur de cet élément après la déformation, on a, d'après les formules précédentes (16) où

de même en appelant ô2 et 83 les coefficients de dilatation de deux éléments linéaires issus de P parallèles aux axes Oy et O^, on a

Ces formules définissent géométriquement £,, e2, £3 en chaque point P du milieu tfi.

669. Dilatations angulaires autour d'un point. — Soient deux éléments linéaires infiniment petits ds = PP' et ds' = ~PQr issus du point P : soient dx, dy, dz les projections du premier, dx', dy', dz' celles du second : l'angle 9 de ces deux directions est

donné par

ds ds' cos 6 — dx dx' -+- dy dy' -+- dz dz' .

Après la déformation, les points P, P', Q' sont venus en P1 , P'( , Q'4 , les deux éléments ds et ds' se sont transformés en ds\ = VKVx, ds\ = P< Q', : si nous appelons dxK , dy{ , dz{ et dx\ , dy\ , dz\ les projections de ces éléments, le nouvel angle ôj formé par les éléments déformés est donné par

dsi ds\ cos 61 = dxi dx\ -+- dyi dy\ -+- dz\ dz\.

La variation 81 — 0 est appelée la dilatation de l'angle P'PQ'. L'expression de cosQj est aisée à former : d'après les formules

[&i = & + u, .Ti=7 + Vi zt = z-hw,

où u, v, w sont des fonctions de x, y, z, on a, en faisant croître III. 16

d'abord a?, y, ^ de afo, d^ dz, les projections de P< P',

dxx = ( I -T- -r- ) cfa? -t- <ir -H — dz .

\ dx J dy J dz

dv\ = t- cfo? -h ( n — — ) <r/y — — - dz , JX dx \ °y ) àz

àw , <)w , / <9w\ .

dZi = -r — a^r -j- <r/v -h i r— «^,

dx oy dz J

puis, en faisant croître #, y, s de dx\ dy' , ti-s', les projections de

' du. \ 7 , du 7 , du , ,

ûfa?. = H- -r— ■ #.r -f- — ay -+- -— dz , 1 \ dx J dy J àz

dy' = —- dx'—- [+— | dy' -j- -— dz' ,

17 * dr \ ày ) J dz

dz, = — — dx ■+■ — — dy -h i H — r— <£3 . 1 dx dy J \ dz J

On en conclut

( dsi ds\ cos fty — ( : -r- 1 &i ) tffo* <£r' 4-(iH-2s2)<iy <i/' (18) < h- (i -l- 2 £3) dz dz' a- *(\(dy dz' -- dz dy')

f -h y 2 ( dz dx' -+- efa? czV ) -4- y 3 ( ^ dy' ->- dy dx' ) .

où £), £2? £3> Y*' T2' T3 sont ^es coefficients caractéristiques de la déformation, définis parles formules (i4)- On peut écrire cette formule d'une façon un peu plus simple en introduisant la forme quadratique

i|;(X,Y,Z) = (i-f-ae1)X»+(i+ae1)Y«+(i-f-2è,)Z«