PQ

dst I -f- 0

et cherchons le lieu du point Q, quand on donne à V toutes les positions possibles autour du point déterminé P. Par rapport à des axes PX, PY, PZ menés par P parallèlement aux axes coordonnés, le point Q a pour coordonnées

D'après la relation (16), le lieu du point Q, quand a, (3, y varient, est donc la quadrique

( ^(X,Y,Z) = (n-2£1)X2-h(n-2£2)Y2-h(n-2e3)Z2 ( -t- 2Y1 YZ -+- 2Y2ZX -+- 2Y3XY = 1.

Gomme le point Q est réel, quelle que soit la direction a, (3, y. cette quadrique est un ellipsoïde de centre P : on l'appelle ellipsoïde des dilatations au point P. Cet ellipsoïde étant construit, on connaît les dilatations linéaires de tous les éléments infiniment petits PP' autour de P. La direction de PP' prolongée perce l'ellipsoïde en un point Q, et l'on a, pour le coefficient de dilatation de PP,

La dilatation peut être positive, négative ou nulle : pour distinguer les divers cas, décrivons, de P comme centre, avec l'unité comme rayon, une sphère S : cette sphère coupe l'ellipsoïde suivant une courbe G qui divise la surface de l'ellipsoïde en deux régions, l'une Ee extérieure à la sphère, l'autre E; intérieure. Si la direction PP' de l'élément ds perce l'ellipsoïde en un point Q de la région extérieure Ee, PQ est supérieur à i , S est négatif et l'élément se contracte dans la déformation ; si Q est dans la région intérieure Et-, 8 est positif et l'élément s'allonge; si Q est sur la courbe de séparation G, 3 = o, l'élément ds ne change pas de longueur. Il peut arriver que la sphère S ne coupe pas l'ellipsoïde; alors la courbe G n'existe pas : la région Ee ou la région E/ envahit tout l'ellipsoïde, suivant que l'ellipsoïde est tout entier extérieur ou intérieur à la sphère S; dans le premier cas, les éléments linéaires issus de P se contractent tous; dans le second, ils se dilatent tous.

En prenant comme origine le point P, la courbe G est définie par l'intersection de l'ellipsoïde (17) avec la sphère de rayon 1

Le cône lieu des éléments PP' issus de P, qui ne changent pas de longueur, a pour sommet P et pour directrice la courbe C : son équation s'obtient en retranchant membre à membre les équations (17) et (S) de l'ellipsoïde et de la sphère : on a ainsi le cône

6!X*+ eaYM- e8Z»-h YfTZ + T.2ZX -h Y3XY = o qui n'existe pas quand la sphère S ne coupe pas l'ellipsoïde.

ds

= /l+ 2Bi,

Oi = /H- 2S!