CHAPITRE XXXII. — DEFORMATION D UN MILIEU CONTINU. 2:p
La connaissance de l'ellipsoïde des dilatations en un point P entraîne donc, d'une manière simple, la connaissance des dilatations angulaires autour de ce point.
En particulier, pour que l'angle h{ soit droit, il faut et il suffit qii avant la déformation on ait
c'est-à-dire que les deux directions PP' et PQ' soient conjuguées par rapport à l'ellipsoïde des dilatations au point P :
On en conclut qiiil existe trois éléments linéaires issus de P qui forment un trièdre trirectangle avant et après la déformation; ce sont les éléments dirigés primitivement suivant les axes de V ellipsoïde des dilatations au point P.
Les directions de ces axes sont les directions principales au point P.
Signification particulière des coefficients y,, y2, y3 : dilatations des faces du trièdre primitivement parallèle aux axes. Ces considérations conduisent à l'interprétation géométrique suivante des coefficients yn y2, Y3- Soit, au point P, un angle p/pQ/ dont Jes côtés infiniment petits PP' = ds et PQ'rzz ds' sont respectivement parallèles à Oy et Os : alors
Après la déformation ces deux éléments deviennent P< P, = ds{ , P< Q', = ds\ , leurs variations de longueur sont données par les formules
dS\ i w,ç. /
leur angle a< = P, P{ Q', est donné par la formule (19) où a, p, y, a', p', y' prennent les valeurs particulières (20), et où l'on remplace Oj par a, : on a donc
r/.ç, ds\ cosai
did7' =Tl'
d'où
Yi — y/i- 2£2 \/i -+- 'ie3 cosaj,
relation qui définit géométriquement y,.
On a, de même, y2 et v3 en chaque point P.
670. Dilatations principales, — On appelle dilatations principales, en un point P du milieu primitif, les coefficients de dilatation A|, A2,, A3 des trois éléments linéaires issus de P dirigés primitivement suivant les axes de l'ellipsoïde des dilatations en P. Appelons A, B, G les trois sommets de cet ellipsoïde; le coefficient de dilatation de l'élément dirigé suivant PA est
Ai =
PA
on a de même, pour les éléments dirigés suivant PB et PC, les coefficients de dilatation
PB
PC
Pour calculer A,, A2 A3, on est donc ramené à calculer les axes PA, PB, PC de l'ellipsoïde (17). Pour cela, on forme l'équation en S relative à cet ellipsoïde
Ti
Ti
Les racines S,, S2, S3 de cette équation sont les carrés des inverses des longueurs des axes p-r^> prV pt^* ^n a donc
671. Invariants. — Quand on fait un changement d'axes de coordonnées rectangulaires, l'équation de l'ellipsoïde des dilatations (17) change; les six coefficients s/ et. y* prennent de nouvelles valeurs qui se déduiraient des premières par les formules classiques du changement d'orientation des axes. Mais on sait que, dans une quadrique
AX2-f- A'Y2-i-A',Z2 4-2BYZ4- 2B'ZX + 2B"XY = H,
