DEFORMATION D UN MILIEU CONTINU
il existe trois fonctions des coefficients qui restent inaltérées quand on fait un changement d'axes rectangulaires, à savoir les fonctions
A-+. A'h-A", + B"2 A'A"— A" A — AA'
AA'A"— AB^~ A'B'2 A"B"^ sBB'B",
dont la dernière est ce qu'on appelle le discriminant de la forme quadratique.
Appliquant ce théorème à l'ellipsoïde (17), on voit, en laissant de côté des constantes, qu'en chaque point P du milieu initial il existe trois fonctions invariantes dont la valeur est indépendante de l'orientation des axes et dépend seulement de la nature de la déformation ; ce sont les fonctions
(22) < YÏ"+'ïl'+"ïI~~'î(e«es-+-e»Ei+e1eî),
! 4^i HH -fr TiT2Ï3— £1 Yi — S2Y2 — b»yI-
Ces trois quantités ont donc, dans la déformation, une signification indépendante du choix des axes.
Prenons en particulier le discriminant de (17)
la règle qui donne le carré d'un déterminant montre immédiatement que
ce discriminant A est égal à D2, D étant le déterminant (7), ou à — •
PÏ Le coefficient de dilatation cubique au point P, égal à D — 1, est donc
aussi exprimé par \/A — 1.
672. Déformation inverse. — On pourrait évidemment regarder l'état <R4 comme initial et l'état Si. comme final : on aurait alors la déformation inverse de la première. Dans cette façon de voir, il faudrait regarder #, y: z comme des fonctions de x{ ,y{ , zK tirées des relations (1). Cette déformation serait définie par le système des vecteurs P<P d'origine P, et d'extrémité P, ayant pour projections — u, — V, — W.
En chaque point P< du milieu <R1 il y aurait un ellipsoïde des dilatations dont les axes donneraient les trois directions des élé-
Yi
Yi
ments linéaires issus de P< formant un trièdre trirectangle avant et après la déformation. On voit, par comparaison avec le même théorème relatif à l'ellipsoïde des dilatations au point P, que trois éléments linéaires issus de P et dirigés suivant les axes de l'ellipsoïde des dilatations en P se transforment en trois éléments issus de Pi et dirigés suivant les axes de l'ellipsoïde des dilatations relatif au point P, dans la déformation inverse.
673. Équations aux dérivées partielles pour les e/ et y*- — Les six fonctions £/• et y* qui caractérisent une déformation ne peuvent pas être prises arbitrairement en fonction de x, y, z. En effet, d'après les relations (i4), ces six fonctions dépendent seulement de trois fonctions arbitraires u, v, w dont l'élimination conduirait à des équations aux dérivées partielles entre les £/ et les y/.
