CHAPITRE XXXII. — DEFORMATION D'UN MILIEU CONTINU. 25l

677. Déformation pure : directions principales; coefficients de dilatation principaux. — On dit qu'une déformation homogène est une déformation pure, quand il existe dans le premier milieu trois directions rectangulaires qui restent inaltérées par la déformation.

En général, il existe dans une déformation homogène trois directions rectangulaires OXYZ qui se transforment respectivement en trois autres directions rectangulaires OX,Y1Z1. La déformation est pure quand les deux trièdres OXYZ, OX1 Y1Z, se confondent. Les arêtes de ces deux trièdres constituent alors ce qu'on peut appeler les directions principales de la déformation pure.

Imaginons que l'on prenne ces directions principales OXYZ pour axes. Appelons x1 ', y', z' les coordonnées d'un point P avant la déformation, x\ , y. , z\ les coordonnées de la position P, de ce point après la déformation.

La déformation étant homogène, les expressions de x\ , y\, z\ en fonctions de xf, yf, z' sont de la forme (26) et l'on a

y\— A21 x'-h (1 + A22Xx'-+- A23-s'5 z\ = A31 a?' + A3, j'-f-(n- A33)^',

où les K(j sont des constantes. Par hypothèse, quand le point V est sur OX, le point correspondant P, doit être aussi sur OX ; donc, quand j/' et z' sont nuls, y\ el z\ doivent l'être, quel que soit x', ce qui exige que A21, A31 soient nuls. On voit de même que tous les coefficients autres que An, A22, A33 sont nuls. La déformation pure rapportée à ses directions principales est donc définie par les relations

(■28) a?i = (i+A11)a;fJ y\ = (1-4- A„)/, z\ = (1 + A33)*'.

Les coefficients An, A22, A33 figurant dans ces formules réduites sont les coefficients de dilatation principaux A4, A2, A3 (670). Gela résulte des formules générales. On peut le vérifier directement. Les ellipsoïdes des dilatations sont actuellement tous égaux et ont leurs axes parallèles aux directions principales OXYZ; prenons une droite PQ parallèle à l'axe OX dont les extrémités ont pour coordonnées x' , y', z' et x" , y', z' : la transforma-

tion (28) transforme celte droite en une autre droite 1>1 Q^ également parallèle à OX dont les extrémités ont pour abscisses

x\ = (n-An)*?', x'[ = (h-Ah)^.

Le coefficient de dilatation de cette droite est alors

P1Q1 — PQ x\ — x\ — (x"—x')

PQ ~ " ~~ â-*=~P~

c'est-à-dire AH . Un calcul analogue montre que les droites parallèles à OY et OZ subissent des dilatations de coefficients A22 et A33.

On voit d'après cela qu'une déformation pure est constituée par un ensemble de trois dilatations effectuées parallèlement à trois axes rectangulaires : ces axes sont les axes principaux de la déformation pure et les trois coefficients de dilatation les coefficients de dilatation principaux.

678. Détermination des axes et des coefficients d'une déformation pure. — Etant donnée une déformation homogène définie par les équations (26) ou (27), il s'agit de reconnaître si c'est une déformation pure et, dans le cas de l'affirmative, de trouver les directions principales et les coefficients de dilatation principaux.

Théorème. — Pour qu'une déformation homogène soit une déformation pure, il faut et il suffit que le champ de vecteurs PP1 dérive d'une fonction de vecteurs, c' est-à-dire que U, v, w soient les dérivées partielles d ) une fonction du second degré de x, y, z.

Pour démontrer ce théorème, il suffît de remarquer que la propriété, pour un champ de vecteurs, de dériver d'une fonction est indépendante du choix des axes.

La condition indiquée est nécessaire, car, si la déformation est pure, en prenant pour axes les directions principales OXYZ on a, pour définir les coordonnées de P1 en fonction de celles de \\ les formules (28), d'où pour les projections u', v', w' du vecteur PP< sur les axes OXYZ

u' = x\ -- x' = knx' , v'=A22j'. w' =A33^',