D UN MI LIE

qu'on peut écrire

dx~''

, dF

, ÔF

dz'

en posant

F = ^(Ah^ + ^/VAsj^).

Elle est suffisante : en effet, supposons que dans les formules générales (27) définissant u, V, W pour une déformation homogène quelconque, par rapport à des axes Oxyz, u, V, w soient les dérivées partielles d'une même fonction F de x,y,z : ou, ce

. m • au ôv ,

qui revient au même, supposons que 1 on ait — = — , • • • , c està-dire

(29) a12=za2i, a%z= «32, a:il — a13.

La fonction F est alors

i 3o) F = - (anx2 -h a^y* - -\- . a33 s2 h- ia%^yz-\- ia^zx -+- 2a12xK),

et l'on a

„ x ÔF ÔF ÔF

ôx ôy dz

Les surfaces du second degré ayant pour équation

(32) F (47, jKj -s) = const.

jouent à l'égard du vecteur u, v, w le rôle de surfaces de niveau. Ces surfaces ont même centre O et mêmes directions d'axes principaux OXYZ. Faisons tourner les axes de façon à prendre comme nouveaux axes OXYZ et appelons x' \yf, z' les nouvelles coordonnées d'un point P et u', v', w' les nouvelles projections du vecteur PP< : la fonction F prendra la forme réduite

F = - (AHa/2+- A22/2+ A33*'2\

et l'on aura

àF

■ dF »

La déformation est donc pure. On voit qu'elle a pour axes les axes des quadriqucs (32) et pour coefficients de dilatation principaux les doubles des coefficients des carrés des variables dans l'équation de ces quadriques rapportées à leurs axes.

Nous avons vu précédemment (n° 670) comment on peut, connaissant les coefficients e/ et y,, déterminer les directions principales et les coefficients de dilatation principaux en un point P du milieu primitif. On pourrait appliquer, en particulier, cette mélliode au cas actuel.

Quand on suppose connus les coefficients an , . . -, ai2, .- • d'une déformation pure (a^ — a*/.) on voit, d'après ce qui précède, que le problème de trouver les axes principaux d'une déformation pure et les coefficients de dilatation principaux peut être ramené au problème classique : rapporter la surface du second ordre (32) à ses axes de symétrie. On sait que ce problème exige la résolution de l'équation du troisième degré en S

(au— S) (aM— S) ( a33 — S) — («n— S)«f2

qui a toujours ses racines réelles et égales précisément aux coefficients An, A22, A33 de la forme réduite, c'est-à-dire aux coefficients de dilatation principaux.

On peut remarquer que, pour une déformation pure rapportée à ses axes principaux (formules 28), les valeurs des six coefficients £/ et Yj sont

êj = An h — Af j , e2 — A22 H- - A| 2 , •2 2

Ti = °> Y2 = °> Ta = °-

L'équation de l'ellipsoïde des dilatations (17) rapporté à ces mêmes axes est donc

ce qui est une vérification des formules générales du n° 668, car actuellement les coefficients de dilatation des éléments parallèles aux axes de coordonnées étant An, A22, A33, on doit avoir.