IV. — DEFORMATION INFINIMENT PETITE

683. Définition. — Imaginons un milieu continu qui se déplace et se déforme d'une manière continue de telle façon que le déplacement PP1 de chacun de ses points P soit assez petit pour que, dans les mesures, on puisse négliger les carrés et les produits de ces déplacements. La déformation est alors appelée infiniment petite. Les projections u, V, w du déplacement PP< sont alors des quantités que nous traiterons, ainsi que leurs dérivées partielles par rapport à x, y, z, comme des infiniment petits du premier ordre dont nous négligerons les carrés et les produits. De là résultent dans les formules et les théorèmes généraux des simplifications que nous allons indiquer.

Exemples de déformation infiniment petite. — i° Dans les vibrations d'un corps élastique rendant un son, les déplacements des points matériels à partir de leurs positions initiales restent ordinairement, pendant toute la durée du mouvement, assez petites pour qu'on puisse négliger leurs carrés et leurs produits.

2° Dans le mouvement continu d'un fluide liquide ou gazeux, pour passer des positions des points du fluide à l'instant t aux positions des mêmes points à l'instant infiniment voisin t -f- d(, il faut faire subir au fluide une déformation infiniment petite. Un point qui, à l'instant /, est en P, est, à l'instant t -+- dt1 dans une

position infiniment voisine I\ et son déplacement PP, a pour

projections

u dt, v dt, w dt,

u, v, w désignant les projections de la vitesse du point matériel en P. Pour appliquer la théorie générale à ce cas, il faudrait donc

faire

u = u dt, v = v dt, w = w dt.

(i84. Expression des six fonctions caractéristiques. — En se reportant aux formules générales (i4) et négligeant les carrés des dérivées partielles de U, V, W par rapport à #, y, s, on a

Dilatations linéaires en un point parallèles aux axes de coordonnées. — En chaque point P(#,y, s), ces dilatations ont pour expressions (page 241)

du l~ ôx''

dv ~ à y'*

âw âz

dw dv ây dz

du âw

âz âx

dv du dx ây