CHAPITRE XXXII. — DÉFORMATION D'UN MILIEU CONTINU

Actuellement l'angle a, est infiniment peu différent de -> puisque

cosa1 est infiniment petit comme y. On peut écrire alors en développant en séries :

. /r \ 7T I /Tt \3

cos ai = sin ai = a, ai

où a, est infiniment petit. Portant dans la formule et négligeant les termes du deuxième ordre, on a

Yi= <*!.

On a ainsi une signification simple du coefficient y! . On obtient des expressions analogues pour y2 et y3.

On appelle aussi ces quantités yl5 y2, y 3 les glissements parallèles aux plans de coordonnées.

Coefficient de dilatation cubique en un point. — Nous avons vu (n° 66&) que ce coefficient est

où D désigne le déterminant (7). En développant ce déterminant et négligeant les carrés et les produits des dérivées partielles

de u, V, W, on a

~ du dv dw

ox ây oz

Le coefficient de dilatation cubique est donc alors

du àv dw

dx ây 0;

ce qu'on peut écrire actuellement

on voit que, dans une déformation infiniment petite, le coefficient de dilatation cubique en un point est la somme des trois coefficients des dilatations linéaires parallèles aux axes de coordonnées au même point.

685. Rotation en chaque point. Dilatations principales. — Nous avons vu que, dans une déformation quelconque, si l'on prend une petite région autour d'un point P, on peut la regarder comme soumise à une déformation homogène et, par suite, représenter la déformation de cette petite région par une translation, suivie d'une rotation, suivie d'une déformation pure.

Nous allons calculer les éléments de ces diverses transformations dans le cas d'une déformation infiniment petite.

Prenons dans le milieu, avant la déformation, un point quelconque P de coordonnées x, y, z et imaginons une région infiniment petite (ni) entourant ce point. La déformation fait correspondre au point P un certain point Pl5 et à la région (in) une région déformée (m\) également infiniment petite et entourant le point Pt .

Prenons comme axes de coordonnées les parallèles Px', Py'-, Pzf aux axes primitifs menées parP : soient x', y', z' les coordonnées, par rapport à ces nouveaux axes d'un point P' du premier milieu pris dans (m), et x\, y\, z\ les coordonnées de la nouvelle position P' de ce point après la déformation. Comme nous l'avons vu, n° 681, la déformation homogène tangente en P à la déformation donnée est définie par les formules (34) que nous écrivons

, , du , du , du ,

x, — x = u -+- -r— x -+- -— y -+- -r -z , 1 àx ày J àz

àv , &sr , dv ,

t\ — Z =WH X -T- -—y ■+• -y- Z .

ox ôy ôz

Actuellement les coefficients u, y- ■> ••• sont infiniment petits :

il est alors aisé de mettre en évidence les éléments de la déformation homogène.

Rappelons d'abord les formules qui donnent les projections du déplacement d'un point dans une rotation infiniment petite. Soient trois axes fixes Pxf, Py', P z' et un axe de rotation Peu issu de l'origine P. Imaginons un système invariable qui tourne d'un angle infiniment petit autour de cet axe : cette rotation peut être décomposée en trois rotations élémentaires d'angles p{ , p2-, p* autour des axes Px' , Py', Pzf. Calculons les projections du dépla-