CINÉMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS

690. Objet du Chapitre. — Nous avons dans le Chapitre précédent étudié le déplacement et la déformation d'un milieu continu à un point de vue purement géométrique, sans nous préoccuper des vitesses, des accélérations, etc., que prennent les points du milieu dans le déplacement et la déformation. Dans le Chapitre actuel, nous montrons comment l'on peut représenter à chaque instant l'état des vitesses et des accélérations des divers points du milieu continu en mouvement.

Les résultats que nous obtiendrons s'appliqueront donc au mouvement d'un milieu continu quelconque, que ce soit un fluide visqueux ou non, un corps élastique, ou même un corps solide.

C'est Cauchj qui doit être regardé comme le fondateur de la cinématique des matières continues : Cauchy a montré que, par le seul fait de la continuité supposée à un milieu matériel en mouvement, de la continuité et de l'uniformité supposées aux vitesses de, ses différents points, découlent dans la répartition des vitesses autour de chaque point des propriétés générales et rigoureuses de la même nature que celles qu'enseigne la théorie de la courbure des surfaces; elles se classent en deux espèces, comme nous l'avons déjà montré dans le Chapitre précédent : celles qui se rapportent à la déformation et celles qui se rapportent au déplacement d'une particule fluide. C'est à cette occasion que Cauchj introduit la notion de la rotation moyenne en un point, qui est quelque chose comme la rotation instantanée de la particule fluide entourant ce point. C'est cette rotation moyenne, introduite par Cauchj, que Helmholtz, dans ses belles recherches sur la théorie des tourbillons, a considérée sous le nom de tourbillon ( Wirbel).

Cette notion de rotation moyenne joue un rôle essentiel dans la démonstration que Cauchy a donnée d'un théorème célèbre de Lagrange sur les cas où il existe ce qu'on appelle un potentiel des vitesses. L'ensemble de ces travaux se trouve dans le Mémoire de Cauchy, présenté à l'Académie des Sciences de Paris en i8i5 et imprimé dans le Recueil des Savants étrangers en 1827; ce Mémoire, intitulé : Théorie de la propagation des ondes à la surface d'un fluide pesant d'une profondeur indéfinie, est. reproduit dans le premier Volume (ire série) des Œuvres complètes de Cauchy, imprimé chez Gauthier-Villars en 1882 (2e Partie, section première).

Mais il y a plus ; M. Maurice Lévy a remarqué ( ' ) que les équations données par Cauchy à cette occasion renferment tous les éléments de la théorie des tourbillons et sont analogues à celles que Kirchhoff a employées plus tard sans connaître le Mémoire de Cauchy.

Les deux systèmes principaux de variables employés dans l'étude du mouvement des milieux continus portent les noms de variables de Lagrange et variables cV Euler , quoique Euler ait employé les deux systèmes de variables en 1706 et 1707 et que Lagrange les ait également donnés tous deux dans sa Mécanique analytique (2).

Nous exposerons successivement ces deux systèmes de variables.