CHAPITRE XXXII. — DÉFORMATION D'ïïN MILIEU CONTINU

plan, mais y sont déplacés, parallèlement à une dkection D du plan P, de longueurs proportionnelles à la distance du plan Q au plan P.

Prenons le plan P pour plan des xy et la droite D pour axe des x. Dans les formules générales de la déformation homogène (n°675), on doit avoir zt= z;

yi = r;

X{ — X -h gz,

où g est une constante qui mesure la grandeur du glissement simple. Les composantes de cette déformation sont

Formant l'équation en S correspondante, on voit que

S^j-f- S2S3-hS3St— 3(8,+ S2-f-S3) + 6 = o,

D'après les relations entre les coefficients et les racines d'une équation du troisième degré, on a, en écrivant les équations précédentes, pour une déformation homogène rapportée à des axes quelconques, les deux conditions

4eis2s;?H-r1ï2ï3— «ï r ! — e2ï| — e3ri= °>

yf -t- ri -J- ri — 4 (£2e3+- £3^1+^2) = 2(s1-*-s2+s3), qui expriment que la déformation est un glissement simple, et la formule

g= V/2(slH-£2+£3),

qui donne la grandeur du glissement (Ibid.).

4. Courbes correspondantes dans le milieu primitif et le milieu déformé. — Soient dans un milieu non déformé des courbes en nombre doublement infini, ayant pour équations différentielles

. , dx dy dz

X, Y, Z étant des fonctions données de x, y, z. Par la déformation du milieu, telle qu'elle est définie au n° 662, ces courbes se transforment en courbes ayant pour équations différentielles

dxx dy, dzx

Démontrer que l'on a

= ). (x ÔXl 1 Y ÙXx \ dx dy

\ dx dy

X étant un facteur de proportionnalité quelconque.

Réciproquement les conditions (3) sont suffisantes pour que les courbes (2) soient les transformées de (3). [ Voir Appell, Lignes qui se correspondent clans la déformation d'un milieu, extension des théorèmes sur les tourbillons (Journ. de Math, de M. Jordan, fasc. II; 1899).]

5. Trouver dans la déformation d'un milieu les lignes dont la longueur îîesl pas altérée par la déformation (Kœnigs).

6. Dans une transformation, ou dans une déformation finie quelconque, il y a en général trois éléments linéaires infiniment petits partant d'un point quelconque qui sont parallèles à leurs homologues.

7. Parmi les déformations, dépourvues de rotation, en existe-t-il pour lesquelles les faces du trièdre principal relatif à chaque point de l'espace s'ordonnent suivant les plans tangents à trois familles de surfaces, qui seront nécessairement deux à deux rectangulaires?

(Darboux, Proceedings of the London 3/athematical Society, vol. XXXII, n° 733.)