CHAPITRE XXXIII. — CINÉMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS. -îy'i
se trouve, à l'instant t, dans la position dm sur cette trajectoire : un autre élément partira de même d'une autre position initiale, suivra une autre trajectoire et se trouvera à l'instant t dans une certaine position sur cette trajectoire. De cette façon, si l'on considère l'ensemble des éléments (dm\ du milieu à l'instant t= o, ils occupent une certaine région continue S\0 de l'espace : ces éléments se mettent en mouvement d'une manière continue et, à l'instant t, ils occupent des positions dm situées dans une certaine région continue Si.
Les coordonnées oc, y, z de chaque élément dm à l'instant t sont des fonctions uniformes et continues de ses coordonnées initiales «, b, c et du temps t :
(i) x=f(a.b,c,t), y=fi(a,b,c,t), z = f2(a, b, c, t),
fonctions qui se réduisent respectivement à a, b, c pour t — o.
Les variables indépendantes choisies par Lagrange sont les quatre quantités a, b, c,' t.
On voit que, par le fait même du mouvement d'un milieu continu et en particulier d'un fluide, se trouve réalisée la déformation continue d'une certaine région continue Si0 de l'espace occupée par le fluide à l'instant initial en une autre région Si occupée par le fluide à l'instant t. Cette déformation rentre dans celles qui ont été étudiées en détail dans le Chapitre précédent, et l'on pourra lui appliquer tout ce que nous avons dit dans ce Chapitre.
Par exemple si de l'eau, primitivement en équilibre dans un réservoir, se met en mouvement à l'instant t = o par suite de l'ouverture d'un robinet, la région Sl0 sera constituée par la partie du réservoir occupée primitivement par l'eau, et la région Si par la partie de l'espace où se trouve l'eau au temps t. Dans cet exemple le milieu continu part du repos : c'est là une circonstance particulière.
En général, à l'instant t — o, les éléments fluides occupent une certaine région <R0 et possèdent des vitesses initiales déterminées : on peut d'ailleurs considérer comme instant initial un instant quelconque du mouvement.
692. Vitesse d'un élément. — Soient W la vitesse d'un élément dm de coordonnées x,y, z à l'instant t, u, v, w les projections de III. 18
cette vitesse sur les axes : d'après les formules (i) qui permettent de suivre chaque élément dans son mouvement, on a évidemment
dx ~di
dy ~dt
dz
les dérivées étant prises en regardant a, &, c comme constants, c'est-à-dire en suivant l'élément dans son mouvement.
693. Accélération d'un élément. — Les projections de l'accélération J du même élément sont
dit d2 x
T dv d'2 y
dw d2 z
-dt dt1 '
r " dt" dt2 '
dt ' ' dt2
694. Équation de continuité. — Appelons p0 la densité de l'élément (dm)* de coordonnées a, b, c à l'instant initial t = o, et p la densité du même élément dm de coordonnées x, y. z à l'instant t. En écrivant que la masse de cet élément ne change pas, on obtient comme dans le Chapitre précédent l'équation de continuité (n° 664). Il suffit pour appliquer cette équation au cas actuel d'y remplacer x,y, z par a, b, c et xt. yi: zK par x, y, z. On a ainsi, en posant
dx da
dx Jb
dx de
dy da
dy Jb
dy de
dz
dz
dz
da
Jb
de
l'équation de continuité
Po-
