CHAPITRE XXXIII. — CINÉMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS

la vitesse W est bien définie en chaque point P (#, y, z); ses projections u, v, w sont donc des fonctions uniformes de x, y, z.

Inversement quand x, y, z sont donnés, c'est-à-dire quand on fixe son attention sur un point géométrique donné P, à chaque instant t il passe par ce point un nouvel élément matériel qui possède une vitesse W, variable avec t', les projections u,ç,w du vecteur W sont donc aussi des fonctions de t. En définitive, m, p, w sont des fonctions des quatre variables indépendantes x, ) , z, t. Ces quatre variables sont les variables indépendantes choisies par Euler.

Si l'on connaissait w, ç, w, en fonction des quatre variables indépendantes x,y, z: t, on connaîtrait, à chaque instant, la distribution des vitesses aux divers points de la masse continue en mouvement.

696. Projections de l'accélération d'un élément. — Nous obtiendions ces projections en nous reportant à la définition même de l'accélération d'un point mobile.

Pour mettre les variables en évidence nous représenterons par

(6) u = u{x, y,z,t), v = v(kxJyiz1t)i w = w(x,y, z,t)

les projections sur les axes de la vitesse W de l'élément dm qui, à l'instant t, passe au point géométrique V(x,y,z). Suivons cet élément dans son mouvement,

A l'instant t\ — t + dt, il s'est avancé sur sa trajectoire d'une

longueur W dl et est arrivé dans une position P, de coordonnées

xx — x ,- u dt, yi = y -h 0 dt, Z\ = z -^- w dt.

D'après les formules générales (6), la vitesse (W,) que possède le même élément dans sa nouvelle position à l'instant tK a pour projections

(Wi) «i= u{œ^yuzu h), -.-,

ou encore

«[-wf^+a dt, y ■+• v dt, z H- w dt, t '-dt),

vv = v ( x -+- u dt,y -t- v dt, z -+- w dt, t f- dt >.

Wi — w(x-\- udt,y -+- v dt, z -+• w dt, t - dt ).

Les projections de l'accélération de l'élément dm sont alors

U\ — U V\ — V wx — w

dt dt dt

Or U\ — u est la différentielle de u(x, y, z, t) quand x,y,z t croissent respectivement de u dt, v dt, w dt, dt :

du 1 du du , du ,

u i — u — —- u dt -^ -— v dt -\- — w d t h — — dt: dx dy dz dt

on a de même vh — t', W\ — w, et les projections de l'accélération sont

du du

-tt+-rc + dx dy

du du

dz dt