CHAPITRE XX XI II. — CINÉMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS

vée de p prise en suivant un élément fluide dans son mouvement (n° 697), de sorte que, en explicitant, on a

dp ~d~t

dp dx

Remplaçant -f par cette expression dans (io), on peut écrire cette équation sous une autre forme

dp d( p u) à(pv) ô(p w )

Cas d'un liquide incompressible — Dans le cas d'un liquide incompressible à température constante, p est constant et L'équation de continuité s'écrit

elle exprime que le coefficient de dilatation cubique est nul en chaque point à cliaqueinstant.

700. Flux de matière à travers une portion de surface S pendant le temps dt. — - Traçons dans le milieu une surface géométrique fixe S, non matérielle, et cherchons quelle est la masse de matière qui traverse cette surface de l'instant t à l'instant t -\- dt dans un sens déterminé. Soient P un point quelconque de la surface, PN la normale menée à la surface en ce point dans le sens considéré et cf., [i, y les cosinus directeurs de cette normale (' fig> 3i*6). Pre-

Fig. 8-26.

nons un élément superficiel infiniment petit d? entourant P : appelons W la vitesse de l'élément matériel qui se trouve à l'instant t

en P, Wrt sa projection sur la normale PN :

(i3) Ww=ai*H-pe-h ^w.

Au bout du temps dt, les éléments matériels placés à l'instanl t sur d<7 se sont avancés de W dt dans la direction W, de sorte que le volume de la matière qui, pendant le temps dt, a traversé l'élément dv est un cylindre oblique de base d<j et d'arête latérale W dt : la hauteur de ce cylindre est ^Nndt et son volume d<jyVn dt. La masse qui a traversé d<j pendant le temps dt

est donc

p W„ da dt.

Quand W„ est positif, celte expression est positive (cas de la fig. 32Ô); si W/i était négatif, cette expression serait négative, mais alors la matière aurait traversé l'élément de dans le sens opposé à celui qui a été choisi. On peutdonc dire que oW,,^ dt est la valeur algébrique de la masse qui a traversé l'élément d<z dans le sens PN. En appliquant ces considérations à chaque élément d? de la surface S, on voit que la valeur algébrique dM de la masse totale qui traverse S pendant le temps dt dans le sens positif choisi est

t f I p W„ cte,

dM = dt

l'intégrale étant étendue à la surface S. Cette formule donne ce qu'on appelle \eflux de matière à traversa pendant le temps dt, dans le sens PN. Remplaçant W„ par son expression (i3)

a«+ jâp -fyflp, on a

( uj ) dM = dt ! / p (a a H- (3 v -h 7 <r ) (h.

J Jç

Il est évident que le flux à travers la même surface, pendant le même temps dt, dans le sens contraire ou sens négatif, est égal et de signe contraire : il est donc

-dt f fp(a

a u -— (3 v -j- Y w ) de.

Application. — On peut déduire de là une autre démonstration de l'équation de continuité. Considérons dans le milieu en