CHAPITRE XXXIII. — CINÉMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS

mouvement une surface géométrique fermée fixe S et soient PN la normale extérieure à cette surface, a, p, y les cosinus direc teurs de cette normale. Nous allons évaluer de deux façons différentes l'accroissement algébrique dM que subit pendant Je temps dt la masse totale de matière M contenue dans la surface S. Une première expression de cet accroissement est précisément le flux de matière à travers la surface S, de l'extérieur vers l'intérieur, c'est-à-dire dans le sens opposé à PN. On a donc

dM = — dt ! I p(au-{-$v -hyw) dv.

D'autre part, si Ton appelle V le volume limité par la surface S et d-z un élément de ce volume, la masse totale contenue dans S à l'instant t est

M- f f fodx,

iii<

l'intégrale étant étendue au volume \ . Cette masse M varie avec t parce que, en chaque point déterminé x,y, z, p est une fonction

de t : pendant le temps dt, p subit l'accroissement y-<i£, on a

donc pour M l'accroissement

•ni

I d~dtd

Égalant ces deux expressions de dM. et supprimant le facteur dt, on a l'équation

/ / / àFdx~^ I I ^ ap U + Pp ç + ? P w) d<J = °*

L'intégrale double se transforme par la formule de Green (n°534)

ffa^o + W-ffffê*

dG <m \

~ày + dz)

Après cette transformation, on a, en réunissant les deux termes sous un même signe d'intégration,

J J . A L àt àx ày Oz J

Celte intégrale est étendue an volume V limité par la surface S tracée arbitrairement dans le fluide : elle doit être nulle quelque soit ce volume, ce qui exige que l'élément placé sous le signe d'intégration soit identiquement nul : on a ainsi l'équation de continuité sous la forme

dp à(pu) d( pv) ô( p w 1

dt ôx Oy dz

701. Comparaison des deux équations de continuité — L'équation de continuité dans la méthode de Lagrange est

pD = po,

D étant le déterminant considéré au n° 694. Dans cette équation p, x,y, z sont considérés comme fonctions de a, b, c, t : p0 est indépendant de t. L'équation exprime donc que pD est indépendant de t] on pourrait exprimer ce fait en écrivant que la dérivée de pD par rapport à t est nulle. La nouvelle équation que Ion obtiendrait ainsi est précisément l'équation de continuité dans le système des variables d'Euler. En effet, soit dm un élément matériel qui, à l'instant initial t — o, a pour volume t0 et pour densité p0 ; ce même élément, à l'instant t, possède un volume t

et une densité p, et l'on a

pz = p0T0;

en comparant avec l'équation de continuité de Lagrange, on voit que

par conséquent, si l'on égale à zéro la dérivée de pD par rapport au temps, on obtient la même équation qu'en égalant à zéro la dérivée de px; or c'est précisément ce que nous avons fait plus haut pour obtenir l'équation de continuité d'Euler ( n° 699).

702. Passage d'un des systèmes de variables à l'autre. — Si, dans le mouvement d'un milieu continu, on connaît les coordonnées d'un élément quelconque à l'instant t en fonction de ses