CHAPITRE XXVIII. — INTEGRALES DE VOLUMES

prisme qui aurait cet élément pour base et dont les génératrices seraient parallèles àO^; il découpe dans le corps un élément d<rx en y entrant en M1 : soient a,, (3,,^ les cosinus de la normale M4 N, à cet élément, dirigée vers l'extérieur-, il découpe ensuite un élément dd2 en sortant du corps en M2 : soient a2, (32, y2 les cosinus de la normale M2N2 à cet élément, dirigée vers l'extérieur; puis il rentre en M3, sort en M4, .... Puisque le volume est supposé limité, le nombre des entrées et des sorties M, , M2, M3, M4, ... est pair; tous les éléments ds^d?*, ... ont même projection dy dz sur le plan des xy.

Soient F<, F2, F3, F4, ... les valeurs de la fonction F aux points M,, Mo, M3, M/(, . . . ; on a

car l'intégrale indéfinie est F et il faut intégrer de M| à M2, puis de M3 à M4, .... L'intégrale triple devient donc

Or la normale à d<7^ dirigée vers l'extérieur du volume fait un angle obtus avec Ox; son cosinus que nous avons désigné par <xi est négatif, nous avons donc

dy dz = — at dc1 ,

car dy dz et de^ qui représentent des aires, sont essentiellement positifs. En d<72, la normale extérieure fait avec Ox un angle aigu, a2 est positif et l'on a

dy dz = a2 d<72 ;

de même

dy dz = — a3 da3,

dy dz = a4<ia4,

Remplaçons dans l'intégrale, il vient

Sfl% dz =ffd'ydz{- Fi+ F>- F^ Fi- ■ •>

= / / ( -4- a! d(jt Fi -h a2 d<72 F2 4- a3 da3 F3 + a4 dcr^ F4 -+-...),

j ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

c'est-à-dire

mi"-ss!"-

la deuxième somme étant étendue à tous les éléments di de la surface S.

Voici deux applications immédiates de cette formule.

Faisons d'abord F = i , nous aurons

0=1 I a de

résultat évident a priori, car il exprime que la somme algébrique des projections de tous les éléments d'une surface fermée, sur un plan, est nulle.

Faisons ensuite F = x, nous aurons

fffd^v=ff°xd"

formule qui ramène le calcul d'un volume au calcul d'une inté-

grale double.

Revenons maintenant à la démonstration de la formule (i). Nous venons de voir que l'on a

un calcul analogue donne

flIJê-'-ISr"-

Ajoutant membre à membre ces formules, on obtient la formule (i).

535. Interprétation géométrique. Flux. Divergence. — Considérons, dans le champ de vecteurs, un élément {fi g* 278) superficiel d<s situé au point M(#, y, z) et menons à cet élément la normale MN dans un sens déterminé; désignons par W» la projection sur la normale MN du vecteur MW de projections F, G, H correspondant au point M. On appelle flux élémentaire à