CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

deviennent

Telles sont les équations du mouvement des fluides parfaits. Dans ces équations X, Y, Z, p et p sont des fonctions uniformes et finies de #, y, z et t dans toute l'étendue du fluide. La fonction p est assujettie à être continue en tous les points du fluide, puisque ses dérivées partielles sont finies, d'après les équations (i); en outre, cette fonction doit rester positive ou nulle dans le fluide. La densité o est également positive, mais peut-être discontinue. Il faudra adjoindre à ces trois équations (i) V équation caractéristique du fluide

entre la pression, la densité et la température t (n° 627), et M équation de continuité. On devra demander à une hypothèse nouvelle une autre relation entre Tet les autres fonctions inconnues. ( Voyez Duhem, Hydrodynamique, Elasticité, Acoustique, t. I, p. 99.)

724. Équation caractéristique. — Nous signalerons pour l'équation caractéristique trois cas simples, très importants au point de vue des applications :

Premier cas. — Le fluide est un liquide incompressible à température constante; alors on a

p = const.

Deuxième cas. — Le fluide est un gaz parfait suivant les lois de Mariotte et de Gay-Lussac : alors

P — — i = const.,

p(n-ocx) '

a étant égal au coefficient de dilatation des gaz — --

Troisième cas. — Transformation adiabatique d'un gaz. — Si le mouvement d'un gaz est tel que les éléments en mouvement sont subitement dilatés ou comprimés, leur température change; mais si Ton admet, comme il arrive, par exemple, dans la propagation du son, que cette dilatation ou cette compression sont suffisamment rapides pour que chaque élément fluide ne perde ni ne gagne de chaleur, la transformation de chaque élément dm est III. 21

dite adiabatique et la relation entre la densité et la pression de l'élément est de la forme

A* et y désignant des constantes dont la seconde, y, est le rapport de la chaleur spécifique du gaz sous pression constante à sa chaleur spécifique sous volume constant, y = i, z}o8.

Pour l'étude des difficultés qui se présentent dans des cas plus généraux, nous renverrons à une Note de M. Duhem (Comptes rendus, 21 janvier 1901, p. 117 ).

725. Discontinuités dans le mouvement d'un fluide. — A chaque instant t, la pression est une fonction uniforme, continue et positive dans toute l'étendue du fluide.

Les autres éléments peuvent subir des discontinuités. Le cas le plus simple est le cas où la discontinuité affecte la forme d'une surface S variable avec t. La discontinuité est alors une onde qui se propage dans le fluide.

Nous avons, à la fin du Chapitre précédent, étudié en détail ce genre de discontinuités et nous les avons classées en discontinuités des divers ordres, d'après M. Hadamard (' ).

En particulier, pour les discontinuités du premier et du deuxième ordre, nous avons étudié les variations brusques de la densité, de la vitesse, de l'accélération, du tourbillon, quand on passe d'un côté à l'autre de la surface S.