CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS
Les projections de la vitesse sont alors
dx dy dz
dt dt dt
et celles de l'accélération
dr- y dt* dt*
Les équations du mouvement (i) s'écrivent donc
Uj pdx~ dt*9 ?ày~'' dt*' p dz <ft*'
Il faut joindre à ces équations l'équation ofe continuité et l'équation caractéristique
(5) Sf = P"
On a ainsi cinq équations pour déterminer #, j/-, z, p el p en fonction de a, 6, c et £. .
Dans les équations (4), p et p sont supposés exprimés en fonction de #, y, s, £. Si l'on veut mettre en évidence les variables indépendantes de Lagrange a, b, c, £, il suffît de remarquer que p et p, étant fonctions de x,y, z, deviennent fonctions de a, b, c par l'intermédiaire de x, y, z qui, d'après (3), sont des fonctions de a, b, c. On a donc, en particulier, pour/?,
En multipliant ces équations par- et remplaçant — i j-i ~ par
leurs expressions tirées des équations du mouvement, on a les trois équations
dp da
dp dx dp dy dx da dy da
dp dz dz da
dp db
dp dx dp dy dx db dy db
dp dz + dz db
dp de
dp dx dp dy dx de dy de
dp dz dz de
i i dp
1 p da
/ d2x\dx /
d2y\dy / dt* )da\
d*z^ " ~dt* j
) l dp
j P. àb
/ d'2x\ dx -\X dP'Jdb*'""
\ l dp
\ P de
/ d2x\ dx -\X dt* de~*~'-"
qui, jointes à l'équation de continuité et à l'équation caractéristique (5), déterminent les cinq fonctions se, y, z,p et p des variables indépendantes a, 6, c, t.
727. Conditions initiales et conditions aux limites. Discontinuités. — Dans l'intégration, il faudra tenir compte de deux espèces de conditions : les conditions initiales ayant lieu pour t = o, et les conditions aux limites ayant lieu aux limites du fluide, quel que soit t.
i° Conditions initiales. — On donne à l'instant t = o la région R0 de l'espace occupée par le fluide, la pression et la densité p0 et o0 en chaque point a, &, c du fluide et les projections des vitesses initiales u0, vQr w0 de chaque élément. Donc pour t = o, p0, o0, m0, v0, w0 sont des fonctions données de a, b, c dans la région R0.
2° Conditions aux limites. — D'autres conditions sont imposées au fluide pendant son mouvement : ce sont les conditions aux limites ou à la surface.
Le cas le plus simple est le cas où le fluide est assujetti à rester dans un espace limité par des surfaces fixes données; c'est le cas d'un gaz ou d'un liquide assujetti à rester dans un vase fixe qu'il remplit entièrement, ou à couler dans un tube fixe dont il touche les parois. Il faudra alors exprimer qu'à un instant quelconque t les éléments fluides qui touchent la surface fixe donnée ont une vitesse tangente à cette surface. Soit W(x, y, z) = o l'équation de la surface fixe; il faut que l'on ait identiquement, quelque soit t,
dW
ÔW
dW
ox
ày
dz
pour tous les éléments liquides pour lesquels W(x,y, z) est nul. Plus généralement il pourrait arriver qu'un fluide fût assujetti à rester en contact avec une surface matérielle dont la forme et la position dépendent du temps,
tel serait le cas d'un fluide contenu dans un vase animé d'un mouvement donné. Il faut alors écrire que l'élément fluide dm de
