CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

coordonnées x, y, z, qui, à l'instant t, est sur la surface (8), glisse le long de cette surface, c'est-à-dire que sa position x-^-dx, y -+- dy, z + dz à l'instant t -+- dt est encore sur la surface ; on a ainsi la condition

W(x -h dx,y -+- dy, z -+- dz, t -+- dt) = o.

Développant et tenant compte de W = o, on a

dW , dW dW . dW ,

— — dx -f- -t— «r H — — «3 H — r- dt = o;

dx dy az dt

mais cte, dy, dz, étant les projections du déplacement de l'élément dm pendant le temps dt, sont égaux respectivement à udt, vdt, wdt, et la condition devient

dW dW dW dW

(q) II- ht>— - -4- W h-T-=0.

KV dx t ày dz dt

Quand il s'agit d'un liquide, il peut exister une surface libre : si cette surface libre confine au vide, la pression sur la surface libre devra être nulle ; si la surface libre est eu contact avec l'air regardé comme immobile, la pression sur cette surface est constante et égale à la pression atmosphérique. La surface libre a alors pour équation p — pa= o, pa étant constant ; en outre, comme les particules qui sont à la surface libre restent en contact avec cette surface pendant le temps dt, on a, sur cette surface, d'après (9)

dp dp dp dp

îtf+cf H-tv-r + f = 0.

dx dy dz dt

Dans certains cas les deux sortes de conditions aux limites existent à la fois pour un liquide : par exemple, un liquide coulant dans un canal fixe à ciel ouvert est assujetti à rester en contact avec des surfaces fixes et en même temps à avoir sa pression constante sur la surface libre.

Il peut arriver que, pour satisfaire à ces diverses conditions aux limites, il faille admettre dans le fluide l'existence de certaines discontinuités du genre de celles que nous avons signalées à la fin du Chapitre précédent.

728. Cas où la densité est fonction de la pression. — Les équations se simplifient quand la densité est fonction de la seule pression

Ce cas se présenterait en particulier si la température x restait constante en tous les points et pendant toute la durée du mouvement; car, dans cette hypothèse, l'équation caractéristique entre/), p et t deviendrait une relation entre p et p.

11 se présente aussi quand chaque élément subit une transformation adiabatique (724).

Supposons donc p = f(p) et introduisons, au lieu de la pression, la fonction

p= [PdP= fP dP t

Jpn P Jpo /(/>)'

oùpo est une constante quelconque : P est une fonction uniforme de p définie à une constante près, car la limite inférieure de l'intégrale p0 est arbitraire.

Comme p est une fonction des coordonnées x,y, z de l'élément dm et du temps £, il en est de même de P, et l'on a évidemment

dP i dp dP I dp dP i dp

dx p dx dy p dy dz p dz

Les équations sont alors

fcx dP dïy dP fcz dP

(IO) ~dïï~x~dx'y ~M-X~~dy' ~dF^-L~dI;

on a ainsi, avec l'équation de continuité, quatre équations définissant a?, y, z) P en fonction de a, &, c, t.

Les équations sont écrites en regardant P comme une fonction de x,y, z. t) mais #, y, z étant des fonctions de a, 6, c, t, P est fonction de a, 6, c par l'intermédiaire de x,y, z, et l'on a

dP

da

dP dx dP dy dx da dy da

dP dz dz da

dP

dP dx -+- . . . ,

db

dx db

dP de

dP dx

dx de

CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS. 327 r> i J .-. . , dP dP dP , t

rlemplaçant, dans ces identités, -r— > -t— > — par leurs valeurs tirées de (10), on aurait les quatre équations du mouvement sous la forme

dP / d*x\

da ~~ \ dP )

! àx ( d*y\

1 da \ dP j

' da

d*-z" dP t

\dz Ida'

dP / d*xs db ~ \ ~~ dfl]

\ dx

ÔP / d*x^

~dc " \ dP /

\ dx

pD — p0= 0,

où les variables indépendantes a, b, c, t sont mises en évidence.

729. Cas où, la densité étant fonction de la pression, il existe en outre une fonction des forces. — Soit, comme dans le numéro précédent, p =f(p), mais supposons, en outre, que la force X, Y, Z rapportée à l'unité de masse dérive d'une fonction de forces U(#, y, z) ou, plus généralement, que X, Y, Z soient les dérivées partielles, par rapport à .r, y, z, d'une fonction U(#, y, z, t) pouvant contenir le temps :

dx dy dz '

les équations (10) du mouvement peuvent alors être écrites sous une forme encore plus simple, si l'on introduit la fonction de

Elles deviennent, en effet,

(l2) d^ = dq cPy dQ dPz dQ

{î2) dP dx' dP"dy' dP ~ "dz '

On peut interpréter ces équations en disant que, dans le cas considéré, il existe un potentiel des accélérations ou une fonction des accélérations.

En effet, les équations du mouvement expriment qu'à chaque instant t, dans toute l'étendue du fluide, les projections du vecteur

accélération sont les dérivées partielles par rapport à x,y, z d'une certaine fonction Q de x1y1 z, t.

730. Cas où il existe un potentiel des vitesses pour une partie de la masse fluide; théorème de Lagrange; démonstration de Cauchy. — A chaque instant t, les projections w, p, w de la vitesse d'un élément fluide quelconque dm sont déterminées : ce sont donc des fonctions uniformes du temps t et des coordonnées x, y, z de l'élément à l'instant considéré. En supposant ?/, v, w exprimés de cette façon, on emploie le système des variables d'Euler.

Comme nous l'avons vu au n° 708, on dit qu'il existe, à l'instant t, un potentiel des vitesses pour une certaine portion du fluide, quand, à cet instant, les valeurs de w, v, w relatives à cette portion du fluide sont les dérivées partielles par rapport à x,y, z d'une fonction <p de x,y, z :

do d<p d<x>

U = ri , P = — L , W = V L .•

ox ay oz

Le champ des vecteurs vitesses W, réduit à la portion de fluide considérée, dérive alors de la fonction cp. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffît que le tourbillon û de projections (Ç, r\, Ç) soit nul à l'instant t en chaque point de cette portion du fluide.

Cette propriété des vitesses peut exister pour une certaine valeur numérique de £, c'est-à-dire à un instant déterminé . Mais peut-elle avoir lieu quel que soit £, c'est-à-dire pendant toute la durée du mouvement? En d'autres termes, un mouvement peut-il être constamment irrotationnel pour tous les éléments d'une certaine partie du fluide? Le théorème suivant, dû à Lagrange, donne un cas très général dans lequel il en est ainsi :

Théorème de Lagrange. — Supposons que, dans un fluide parfait en mouvement, la forée rapportée à V unité de masse dérive d'une fonction U(#,jk5 z, t), et que la densité soit fonction de la seule pression ; alors, si, à un instant déterminé, les vitesses d'une portion du fluide dérivent d'un potentiel, il en est de même à tout autre instant pour cette portion du fluide.

Pour démontrer ce théorème, il faut montrer que, si le tour-