CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

fonction

et l'on a, pendant tout le mouvement,

dx dy dz d¥

da da da da

dx dy dz d¥

dx dy dz d¥

de de de de

équations que l'on peut résumer dans l'équation unique

u dx -+- v dy -+- w dz — ( u0 da -+- p0 db -t- w0 de) = d¥.

D après ces équations (20), les trois dérivées—» -y, — saor *■ v n da db de

nulent pour t = o, car u, p, w prennent alors les valeurs u0, v0, w0 et x, y, z les valeurs a, &, c. Donc pour t = o, F se réduit à une constante indépendante de a, b, c.

Dans cette manière d'interpréter le calcul de Gauchy, le théorème de Lagrange sur le potentiel des vitesses devient évident : si

u0 da -+■ Vq db ~\- w0 de

est une différentielle totale exacte d' une fonction <fo(a1 b, c),

u dx -4- v dy -h w dz

est également une différentielle exacte à chaque instant t. On a en effet

u dx -f- v dy -t- w dz = u0 da -h v0db -+- w0 de -f- d¥ ;

si donc

Uq da -+- Vq db -+- w0 de = dy0, on a

u dx h- v dy -h w dz = d(y0-Jr¥),

et le théorème de Lagrange est démontré.

Différentions la première des équations (23) par rapport à t en

d 000 oit • •

remarquant que -r -r- = -r-t • • • ; il vient

du dx dv dy dw dz du dv dw d dF

dt da dt da dt da da da da da dt

Mais, d'après les équations du mouvement (12), l'ensemble des trois premiers termes s'écrit

dQ dx dQ dy dQ àz dx àa dy da dz da

ce qui est identique a r— • Un a donc

On trouverait de même

La fonction entre crochets est donc indépendante de «, &, c et ne dépend plus que de t. D'où

Comme jusqu'ici la fonction F a simplement été définie par la condition que ses dérivées partielles par rapport à a, b, c aient des valeurs données, elle n'est déterminée qu'à une fonction de t

près et l'on peut faire rentrer i y(t)dt dans F en remplaçant F

par F -+- ! %(t) dt; on a donc enfin