CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS
dy . dz dz dz . i -,
■— et ajoutant, puis par -r- > j- ? -^ et ajoutant, les deux autres relations
dy
D'après l'équation de continuité, le déterminant D n'est pas nul, il est égal à — ; dans le cas où le fluide est un liquide incompressible à température constante, D = i .
Ces équations de Cauchy rendent maintenant le théorème de Lagrange évident. En effet, si à l'instant t = o, pour un élément fluide déterminé, le tourbillon Q0(?o> *1o> ?o) est nu^ ^es équations (21) et (21') montrent que, pour ce même élément, le tourbillon Û(£, 7], Ç) est nul à un instant postérieur quelconque t. Inversement, d'après les formules (20), si ù est nul, Q0 l'est. Le théorème de Lagrange est donc démontré.
Les relations établies par Cauchy sont d'une importance capitale : elles montrent que le tourbillon est un élément cinématique qui est indestructible par les forces de la nature, par les forces conservatives qui agissent sur le fluide, aussi bien que par les pressions de celui-ci. Si la rotation d'un élément n'existe pas, elle ne naîtra pas et, si elle est née, elle subsistera. Elle ne peut naître ou s'éteindre que par l'action du frottement ou de forces non conservatives (*).
Le théorème de Lagrange s'applique en particulier d'une manière simple, quand le liquide en mouvement part du repos. Alors on a en tous les points a, b, c du liquide dans sa position
initiale
w0 = o, f>o = o, wQ = o ;
par suite, le tourbillon initial est nul en chaque point
£0 = 0, ï)o = o> £0 = o. Donc, à un instant quelconque du mouvement, les projections
(') Maurice Lévy, L'hydrodynamique moderne, etc. {Revue des Sciences, p. 72/j; 1890).
Ç, 7j, Ç du tourbillon sont nulles, et les vitesses dérivent d'un potentiel.
731. Interprétation des équations de Cauchy. Généralisation du théorème de Lagrange. Équations de Weber. — Les équations de Cauchy ont évidemment une portée plus générale que la conclusion spéciale que nous en avons tirée. Nous y reviendrons à propos de la théorie des tourbillons. On peut les interpréter de la façon suivante :
Considérons l'expression différentielle
( 22 ) u dx -h v dy -h w dz — ( u0 da -+• ^0 db -+- w0 de ) ,
où t est regardé comme une constante, et #, y, z comme des fonctions de a, b, c, t correspondant au mouvement du fluide. Les équations de Cauchy telles que (18) signifient que, pour chaque valeur de t, V expression (22) est une différentielle totale exacte.
En effet, t étant regardé comme une constante, on a
, dx , dx 7J dx 7
dx = — da -+- — .- db -4- -7- de.
da db de
dy = -f- da h- -xt db h — ^— de,
J da db de
dz dz dz
dz = — da -+- -77 db -h — de.
da db de
L'expression (22) s'écrit alors
dx dy dz \ , / dx dy dz \ „
u hP-7 — h w u0 ) da + ( u -y -+- v -rj- -h w —j Va) db
da da da J \ db db db
f dx dy dz \ .
^\uTc^vTc+wlTc-w°)dc> expression de la forme
A da -h B db -t- G de ;
et les relations telles que (18) signifient, comme on le verra immédiatement,
dB dk
dC __ dB
d\ __ dC m
da db
db de
de da '
la quantité considérée est donc bien une différentielle exacte d'une
