CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS. 33g

Ajoutons oes trois équations, après avoir multiplié la première

i dF ! j i dF . . ., i <)F r ,

par t -r— » la deuxième par -=■ ~-y-, la troisième par T — • Comme la r h àa l h oo l h oc

somme des carrés de ces trois multiplicateurs est égale à i , puisque ce sont les cosinus directeurs de la normale à la surface de discontinuité, on obtient la relation

L* KPo) ^ *\h da h db h dcj

L'un des deux facteurs de ce produit doit être nul. En égalant le

t -, r a dF , , . ! ,.

deuxième iacteur T h. . • a zéro, on exprime que la disconti-

h àa J l

nuité est transversale; mais une discontinuité de ce genre ne peut pas se propager dans un gaz, car les équations (G) donnent alors G = o. C'est donc le premier facteur qui est nul, et l'on a

T.^-fê);

d'où, pour la vitesse de propagation,

Comme le remarque M. Hadamard (Bulletin de la Société mathématique, 1901) le signe de G, c'est-à-dire le sens de la propagation, est défini par la connaissance des deux vecteurs X, u, v, \{ , jjl^ , v, dont le quotient est G.

La discontinuité est longitudinale, caries équations (C) montrent que X, pi, v sont proportionnels aux cosinus directeurs de la normale à la surface de l'onde.

Cas d'un gaz parfait. — Dans le cas où la conductibilité du gaz pour la chaleur peut être négligée, la transformation subie par chaque élément du gaz est adiabatique : si donc le fluide est un gaz parfait, la relation entre p et p est (n° 724)

p = k pï,

où h est une constante et y le rapport des deux chaleurs spécifiques sous pression constante et sous volume constant. On a alors

d'où, pour la vitesse du son,

G=l/ïr

Cette formule, qui attribue à la vitesse du son dans l'air une valeur théorique exactement égale à celle que donne l'expérience, a été obtenue par Poisson en 1808 par une méthode qui consiste à intégrer les équations de l'hydrodynamique dans un cas parti culier, en ayant égard, suivant une remarque antérieurement faite par Laplace, au développement de chaleur qui accompagne la compression de l'air.

Newton, qui avait abordé le premier, suivant une analyse d'ailleurs obscure et défectueuse, le problème de la vitesse du son, ayant implicitement supposé que la délente était isothermique et non adiabatique, c'est-à-dire s'effectuait suivant la loi de Mariotte

p = £p, avait trouvé la valeur G = i / — qui est, dans l'air, beaucoup trop faible (* ).

733. Équations du mouvement dans un système quelconque de coordonnées. — L'artifice de calcul qui permet de passer des équations du mouvement d'un point en coordonnées cartésiennes aux équations du mouvement en coordonnées quelconques (Équations de Lagrange pour un point libre, t. I) s'applique identiquement à la transformation des équations (4).

Supposons qu'au lieu de définir la position d'un point par ses coordonnées cartésiennes x, y, z on la définisse dans un système quelconque de coordonnées q{, q2, qz liées à x, y, z par des formules

#= ¥(01) ?2,?3), 7 = <M?i,?2,?3), z =w(qu q^qz)\

il s'agit d'écrire les équations du mouvement dans le nouveau système de coordonnées. La méthode que nous suivrons s'applique même au cas où les coordonnées cartésiennes seraient des fonc^ tions données, non seulement de trois nouvelles coordonnées q{, q2, q%, mais aussi du temps : cela revient, au point de vue géo-

(') Sarrau, Cours de l'École Polytechnique, i,e division, 1899-1900, p. 187.