CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS. 34l

métrique, à dire qu'elle s'applique même si le nouveau système de coordonnées est mobile et animé d'un mouvement connu.

Nous supposerons donc, pour traiter le cas le plus général, que x, y, z soient des fonctions données de qK , q2, q* et de t :

(25) x = <?(ql,q2,q3,t), y = <K<7i> £2, qz,t), z = w{qu q2, qz, t).

Reprenons les équations du mouvement (4) sous la forme

d*x dt'2

p dx

d*y dt*

Y l dP

P ày

d°>z ~dt*

7 l dP.

dans ces équations, x, y, z sont des fonctions de a, b, c, t qui se réduisent à a, b, c, pour t = o\ d'après les formules (25), on voit que qK , q2, q3 sont de même des fonctions de t et de a) 6, c ; mais en appelant q°{, q^ q\ les valeurs des coordonnées d'une particule à l'instant t = o, on a, d'après les formules (25),

on pourra donc aussi regarder qly q2l q$ comme fonctions de t et

de q\, q\-> q\-

Gela posé, reproduisons textuellement le calcul employé dans le premier Volume pour obtenir les équations de Lagrange : multi-

-, . i , / n \ • dx dy dz

plions les équations (20) respectivement par-—:» ~—y - — et ajoutons. Nous aurons

(37) ^+7''-^+^ = Qi---^

àqi J àqt dqx X1 p dqx

en désignant par x" ', y" ', z" les dérivées secondes de x,y, z, par rapport au temps dans le mouvement, par Q, la quantité

dq\ dqx dqt

et en remarquant que l'on a

dp dx dp dy dp dz dp

dx dqt dy dqi dz dqv dqx

On peut écrire l'équation (27)

/ d / . dx , dy . dz

-tAx -, — t-y -r- -^z T-

I at \ dqx * dqx dqx

/ , d dx , d dy , d \dz

~ \X'dtd^i'Jrydt^'{'Z dt\dql

-o î EL.

Or y, dérivée première par rapport au temps, peut, d'après (25),

s'écrire

dx , dx , dx , dx

On en conclut

dx dx' d dx dx'

dqi dq\ dt dqx dqx

et deux formules analogues pour y et z. Posons alors

T = -}-(#'*+/*+ s'2) = J(a2-hP2-i- w2);

l'équation du mouvement (28) devient

d / dT \ dT 1 dp

29) di\d^\) ~dj\~ = ^, p d^l;

on obtiendra de même deux autres équations

) dt\dq't) dq2 " 2 p dq2 '

9 )lL(£L\- — -o l dp

\ dt \dq'z) dqz~~ 3 p dqà '

Ces trois équations remplacent les trois équations (26).

Les quantités Q4, Q2, Q3 s'obtiennent comme nous l'avons vu dans le premier Volume. Pour avoir Q, , imaginons le déplacement virtuel 8#, oy1 ùz déduit des formules (20) en y supposant q2, q$ et t constants et faisant varier qK de ^qK ; pour ce déplacement, le travail de la force X, Y, Z est

X ùx -h Y oy -+- Z ûz = Qi 0^1.

On a de même Q2 et Q3.