CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS. 35g
déterminants obtenus en prenant successivement les dérivées des diverses lignes ou colonnes et de ce que
dl \dq\) == dq\ \ dt
Ùlty
Mais Ui, w2, u3 peuvent être supposés exprimés en fonction de ^i, q2, q$, t; alors
Dp!, q2, q3) ^ B(uu q2, q3) D(?i, ?2, q*) àu± D(?ï, ?§,?§) == B(quq„q3) D(q»,ql,qi) " dq,
De même le deuxième et le troisième déterminant de la formule (B)
du2 du3
nt - — K et — — K.
àq2 dqz
On a alors
dK ( àii\ du* àu3\
dt \àqi dq% dq3
L'équation de continuité est donc finalement
i do i. dM du,
p dt M dl ôqx
du2 dus àq-2 àq3
dM
En développant -y- on peut l'écrire
dM dM dt dqx
dM àq%
dM àqs
~dt
L'équation (G) peut alors être écrite i dp i \diMiii) d(Mu2)
d(MuB) dM
p dt M i dqx Oqz <Jq3 dt
Par exemple, en coordonnées polaires dans l'espace /*, 6, w, on a
Posons
dr
dt''
r* sin
diï U*=dt>
L'équation de continuité est
i do 2 .
— 1 — «i-t-«2 cottf
p dt r
du y ~dr
du2
doi ~di
du3 doj
on peut l'écrire
ï dp t d(r2iiy) 1 d(w2sihO)
p dt
dr
sin
Oti
àth doi
Cas particulier des coordonnées curvilignes orthogonales. — Soient
^ = ?(^i, ^2, ^3), y = <K#t, £2, #3), z =™(qu £2, q*)
les formules de transformation : nous supposons que les trois familles de surfaces q^ = const., <72=const., ^3=const. sont orthogonales. Si l'on appelle dx, dy, dz les accroissements infiniment petits de x, y, z correspondant à des accroissements dqx, dq2, dq3, on a, en faisant la somme des carrés de ces accroissements, une expression de la forme
ds2 = h\ dq\-+- h\ dq\-\- h\ dq\.
En prenant le déterminant M et l'élevant au carré on trouve immédiatement, d'après les conditions d'orthogonalité,
M*= h\h\h\, M = hth2h3.
On peut alors écrire les formules (G) et (E) avec cette particularité
dM que — - est nul.
dt
Soit à partir d'un point P la courbe obtenue en supposant q* et q3 constants; l'arc dst de cette courbe est donné par
dsi = hi dqi ;
de même
ds2 = h2 dq2, ds3 = A3 dq%
sont les arcs des courbes obtenues en faisant varier seulement q% ou q3. On introduit ordinairement les composantes de la vitesse ï>i, p2> ^3 suivant les trois directions ds^, ds2: ds3 : ces composantes sont
vx = ~ — Jli «!, C2 = h? w2, v3 — h3 u3,
et l'équation (E) s'écrit
1 dp i rd(pi/z2A3) ^(p2/?3/i1) d(ç3hi A2)~|
p dt hi/io/h L àqi dq2 dq%
On pourra faire une application de cette équation aux coordonnées polaires dans l'espace.
