CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

points géométriques de l'espace occupé par le fluide, soit constamment la même. En d'autres termes, il faut et il suffit que u, v, w, p et p dépendent uniquement de x, y, z, et non de t.

Les éléments fluides qui passent successivement en un point géométrique P suivent alors tous la même trajectoire : de cette façon, par chaque point de l'espace passe une trajectoire et une seule.

Filet fluide. — Soit, dans l'espace, un élément plan infiniment petit <70 (voir fig. 3a()) : les diverses trajectoires partant du contour de cet élément forment une sorte de tube, et les éléments fluides qui traversent l'aire de l'élément <70 se meuvent dans ce tube : l'ensemble de ces éléments forme ce qu'on appelle un filet fluide.

Les cas où le mouvement est sensiblement permanent se présentent souvent : lorsque le fluide est soumis à des conditions qui ne varient pas avec Je temps, c'est-à-dire lorsque les forces d'une part et les conditions aux limites de l'autre sont invariables, on admet qu'au bout d'un certain temps il s'établit un régime permanent. Par exemple, dans une pièce d'eau alimentée régulièrement, de façon que son niveau reste constant, et dont l'eau s'écoule toujours de la même façon, il s'établit un régime permanent.

742. Mouvement permanent dans le cas où les forces dérivent d'une fonction de forces U (x, y, z) et où p est fonction de p. — Théorème de Bernoulli. — Supposons que les forces X, Y, Z dérivent d'une fonction U (.#, jk, z) ne contenant pas le temps et que la densité p soit fonction de la pression/?. En posant, comme plus haut,

pdp

et remarquant que «, p, w et Q sont indépendants de t, on peut écrire les équations du mouvement (35)

dQ dx

dQ

dQ ~dz'

du du dx dy

du dz

dv dv dx dy

WTz

dw dw dx dy

dw

dz

Dans ces équations ne figure plus le temps. Il est naturel de les transformer en ne faisant intervenir que des éléments géométriques; c'est ce que nous allons faire en suivant une méthode indiquée par M. Gilbert dans sa Mécanique analytique (Partie élémentaire).

Appelons s l'arc d'une trajectoire compté à partir d'un point déterminé P0 jusqu'à un point P de cette trajectoire. Les coordonnées x, y, z de P sont des fonctions de s, et les cosinus directeurs de la tangente en P à la trajectoire sont

dx dy dz

ds ds ds

La vitesse en P étant W, ses projections sont

ds ds ds

La première équation du mouvement donne donc

du dx du dy du dz\ dQ dx ds dy ds dz ds / Ox ou

du dQ ds dx

car, le long de la trajectoire, u est fonction de s par l'intermédiaire de x, y, z. On déduit de même des deux autres équations du mouvement

ds dy ' ds dz

Multiplions ces trois équations respectivement par -y-, -£, —.-■> 1 L l l ds ds ds

et ajoutons-les en tenant compte des formules (55), nous aurons

„. du dv dw dQ

ds ~r' ds ds ds '

car, le long de la trajectoire, Q dépend des par l'intermédiaire de x, y, z et —z- est égal a

omme

dQ dx

dx ds

dQ dy dy ds

dQ dz

dz ds