CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS
l'équation (56) peut s'écrire
ds
[ÏW-q]=o.
Elle exprime que la quantité entre crochets, c'est-à-dire la quantité appelée précédemment H (n° 737), ne varie pas quand s varie : cette quantité est donc constante tout le long du filet fluide considéré :
ou
Cette relation exprime le Théorème de Bernoulli.
11 faut remarquer que G est constant le long de chaque filet fluide; mais pour chaque filet G a une autre valeur. D'une façon précise, si les équations d'une trajectoire sous forme finie sont (n° 703)
la constante G est une fonction des deux constantes C et Gt dont les valeurs numériques définissent la trajectoire d'un élément fluide ou le filet fluide considéré.
Si l'on emploie le système C. G. S. le premier membre de l'équation (07) et, par suite, la valeur de la constante G représentent l'énergie en ergs par gramme de fluide.
Considérons un filet fluide déterminé. Appelons W0, p0, U0, Qo les valeurs des fonctions W, p, U, Q en un point déterminé du filet; en écrivant que la fonction
est constante tout le long du filet, on aura, le long du filet,
i(W*-W$) = Q-Q0; ou, en remplaçant Q par sa valeur,
(58) I(W*-W02) = U -Uo- f 2
'2 JB. P
743. Application à un liquide. Démonstration directe. — Appliquons le théorème de Bernoulli au mouvement permanent d'un liquide incompressible; alors p est constant et
Dans ce cas, l'équation (58) s'écrit (59) I\V2 u
1 WTï TT > P o
le long d'un filet liquide. Si Ton connaît les valeurs U0, Po-, W0 des fonctions U, p, W en un point déterminé d'un filet, on aura, tout le long de ce filet,
(6o) -W2 — U + ^ = -Wg — U0 + ^-°-
La constante G, relative à ce filet, est alors connue.
Cette formule (6o) donne la vitesse en un point du filet quand la pression y est connue, ou la pression quand la vitesse est connue. En résolvant par rapport à /?,
on voit que, le long* d'un filet, la vitesse W ne peut pas dépasser une certaine limite, sans que le liquide se sépare. En effet, p devant être positif, il faut que l'on ait
en tous les points du filet.
On peut, dans le cas d'un liquide, établir directement l'équation de Bernoulli en la déduisant du théorème des forces vives.
Démonstration directe pour un liquide. — Considérons un filet liquide déterminé et deux sections droites fixes <j0 et cr {fig. 329) : ces sections sont infiniment petites, d'après la définition d'un filet : supposons que le liquide coule de <70 vers a- et appelons W0 et p0 la vitesse et la pression en <r0, W et p la vitesse et la pression en 1. Le mouvement étant permanent, la masse dm de liquide traversant l'élément <70 dans le temps dt est égale à la
