CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS
l'équation (65) donne dans cette hypothèse
Po P
L étant la caractéristique d'un logarithme népérien.
Comparaison des formules. — La formule de Zeuner suppose négligeables les effets du rayonnement et de la conductibilité; celle de Navier, au contraire, suppose que la température est constante, c'est-à-dire que la chaleur gagnée ou perdue par rayonnement et conductibilité compense exactement la variation de température due à la transformation.
La vraie valeur de la vitesse doit donc être comprise entre les valeurs fournies par les deux formules.
Dans les circonstances habituelles de l'écoulement des gaz, c'est la formule de Zeuner qui paraît le mieux représenter les résultats observés (*).
746 . Variation de la section droite d'un filet gazeux ; maximum de contraction; vitesse correspondante. — Considérons un gaz animé d'un mouvement permanent : si, dans un même filet fluide, nous prenons comme au n° 743 {fi g. ^29) deux sections droites a- et 0*0, la masse dm de fluide traversant l'élément 1 dans le temps dt est égale à la masse de fluide traversant cr0 dans le même temps. On a donc, en appelant W et W0 les vitesses, p et p0 les densités dans les sections <r et cr0,
p<j\V dt — p0ï0Wo dt.
Gela revient à dire que p<rW est constant tout le long du filet
Le maximum de contraction du filet, c'est-à-dire le minimum de o-, correspond donc au maximum de oW. Or, d'après la for-
(') Sarrau, Cours de l'École Polytechnique, ire division, 1900, p. i5i-i53.
mule générale (65), on a
rPo dp
Pc
dp
Jp ?
La pression/? est une fonction de p : le long du filet, le deuxième membre est donc fonction de la seule variable p : pour trouver la valeur de p qui rend pW ou p2W2 maximum, il suffit d'égaler à zéro la différentielle du deuxième membre de (68) : on a ainsi, au point où la contraction est maximum,
Po rl o dp
c'est-à-dire
-p° dp dp
j rdp
a rp°dp = dp
.'.. P du
La vitesse d'écoulement au point où la contraction est maximum est donc, d'après la formule (65),
dp '
on voit que c'est la vitesse du son correspondant à la pression et à la densité en ce point (' ) (n° 732).
