CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

Le mouvement élant supposé permanent, m', c, w,p, o ne dépendent pas de t : on peut donc supposer que cp ne dépend pas de t. Dans ces conditions, le calcul du n° 738 nous a montré que la fonction

dt i ot

est indépendante de x, y, z. Actuellement -~ est nul, donc la

fonction

ne dépend pas de x,y, z\ mais l'hypothèse que le mouvementest permanent montre que cette quantité H ne dépend pas de £, car W et Q sont indépendants de t. Donc H est indépendant de x, y\ z, t. et l'on a l'équation

(69) . IW2-Q = C,

C désignant une constante.

Dans ce cas, on déterminera <p,/? et p par les trois équations

mvcav+ftvi-u^fi-c.

mi-^fi

\ dx ) \dy J \ dz J J ?

(70) < à / do\ d / dq>\ d ( do\

j te VTx) + Ty \?ày) + T; \?à;) = °-

Les trajectoires des éléments fluides coupent orthogonalement

les surfaces

<p(a?, y} z) = const. ;

d'après les valeurs de u, v, iv, ces éléments marchent dans le sens suivant lequel cp va en augmentant.

Il faudra intégrer les équations (70) sous les conditions initiales et les conditions aux limites. Par exemple, si le fluide, dans son mouvement, doit rester en contact avec une paroi fixe, la vitesse en chaque point de cette paroi doit lui être tangente; la composante de la vitesse normale à la paroi doit donc être nulle, ce qui donne la condition

du '

tout le long de la pa/'oi, la dérivée étant prise suivant la normale à la paroi. On peut aussi interpréter cette condition en remarquant qu'elle exprime que le flux de fluide à travers un élément quelconque de paroi est nul. Les surfaces équipotentielles des

vitesses

cp"= const.

couperont cette paroi fixe à angle droit.

Comparaison avec le théorème de Bernoulli. — En supposant un mouvement permanent dans lequel o =^f[p) et dans lequel les forces dérivent d'une fonction de forces, nous avons vu (n° 742) que la quantité