CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS
Le calcul précédent est identique à celui que nous avons fait, dans la théorie de l'attraction newtonienne, pour calculer le flux de force provenant d'un centre unique à travers une surface fermée entourant ce centre.
20 Plusieurs sources. — Imaginons un liquide animé d'un mouvement permanent irrotationnel. Supposons que, dans une certaine région de l'espace occupé par le liquide, limitée par une surface fermée, il existe n points fixes 0o 02, ..., On tels qu'en appelant r*, r2) . . ., rn les distances d'un point P(#, y, z) à ces points, on ait, dans cette région, pour le potentiel des vitesses, une expression de la forme
Ai A2 A„ '
/ 1 '2 'il
At, A2, . . . , A„ désignant des constantes positives ou négatives et d»(^,y, z) une fonction harmonique, uniforme, finie et continue dans la région considérée.
On dit alors que les points Oh 02, . . ., 0„ sont des sources d'intensité Al5 A2, • • . , AM. Le flux à travers une surface S entourant tous ces points et située dans la région considérée est, pendant l'unité de temps, au facteur p près,
%dty
J J dn J J dn J J du J J
toutes les intégrales étant étendues à la surface S : c'est donc la
so
ut
clnda'
somme des flux dus aux diverses sources augmentée de Finlégrale
de dn
qui est nulle, d'après les hypothèses faites sur à (n° 587). Le flux à travers S est donc
4tt?(Ai + A2 + ...+ A„).
3° Doublets. — Un douhlet est constitué par deux sources infiniment voisines d'intensités égales et de signes contraires : il est analogue à un aimant élémentaire (n° 570).
750. Quelques problèmes sur les sources. — Soit un vase entiè-
rement clos limité par une surface S : ce vase est entièrement rempli par un liquide animé d'un mouvement irrotationnel acyclique; on demande de trouver le mouvement, sachant qu'il y a n sources données O, , 02, . . . , On d'intensités AM A2, . • • , An dans le vase.
Il s'agit de trouver le potentiel o des vitesses : ce potentiel doit être, dans le vase, une fonction de la forme
<]> étant assujettie à être uniforme et finie dans le vase et à vérifier l'équation de Laplace A'|i = o. C'est cette fonction qui est l'inconnue du problème.
Tout d'abord, pour que ce problème soit possible, il faut que la somme A, -4- A2 -f- . . . -f- A^ des intensités des sources soit nulle : en effet, le vase étant clos, le flux total à travers la surface S est nul.
Cette condition étant supposée remplie, la vitesse de chaque élément fluide en contact avec la paroi S doit être tangente à la paroi : on a donc, en chaque point de la surface S,
do
du
Or, d'après l'expression (74)» on a
do d / A 1 A ? A „ \ dty
d/i d/i \ /-j r-i r a j du
Donc, la fonction <l> doit, sur la surface S, vérifier la condition
d'b d /At A 2 A,
du du \ r t r-2 r
En résumé, la fonction inconnue d» est déterminée par les propriété suivantes : elle est harmonique, uniforme et finie dans la surface S et, en chaque point de S, sa dérivée normale prend une valeur donnée (^S). Ces conditions déterminent 'j», aune constante près, comme nous l'avons vu dans l'étude des fonctions harmoniques (n° 594).
On peut faire effectivement le calcul de la fonction >h quand la surface donnée S est un parallélépipède rectangle, en introduisant
