CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

une fonction harmonique analogue à la fonction Z employée pour la décomposition des fonctions elliptiques en éléments simples (voyez Acta mathematica, t. VIII, p. 265).

Lorsque l'une des dimensions du parallélépipède devient infinie, ou a la solution du problème pour un prisme rectangle indéfini dans un sens : des cas particuliers de ce dernier problème ont été résolus par MM. Boussinesq, de Saint -Venant et Flamant [Comptes rendus de V Académie des Sciences de Paris, 1870).

Ces solutions, qu'il serait trop long d'exposer ici, reposent sur le principe des images que nous indiquerons sommairement, en adoptant le mode d'exposition de M. Basset.

751. Principe des images. — Supposons que, dans un liquide indéfini, il existe deux portions distinctes L, et L2 du liquide, animées chacune d'un mouvement propre. Supposons, en outre, qu'on puisse tracer dans le fluide une surface continue fixe S, séparant complètement l'une de l'autre les deux portions L, et L2, de telle façon que, dans les mouvements de ces deux portions, aucun élément de L, ne traverse S, ni aucun élément de L2. On dit alors, d'après Sir William Thomson (Lord Kelvin), que le mouvement de L2 est limage du mouvement de L4 par rapport à la surface S, et inversement.

Dans ces conditions, on pourrait, sans changer le mouvement de L1 , supprimer le liquide L2, à condition de réaliser matériellement la surface S sous forme de cloison. De même, on pourrait, sans changer le mouvement de L2, supprimer L| en réalisant S sous forme de cloison.

Premier exemple : Image d' une source par rapport à un plan. — Soient, dans un liquide indéfini dans tous les sens et animé d'un mouvement permanent, deux sources Ot et 02 de même intensité A, le mouvement étant nui à l'infini. Dans ces conditions, en appelant /•) et r2 les distances d'un point P aux deux sources, le mouvement considéré est un mouvement irrotationnel dans lequel le potentiel des vitesses est de la forme

où ù est une fonction harmonique uniforme et finie dans tout

l'espace, telle que —j — *-, ~ soient nuls à l'infini. Cette fonction

1 l ax ôy oz

est alors une constante d'après les théorèmes généraux sur les

Fig. 33 r .

fonctions harmoniques (n° 600), et l'on peut prendre, en laissant

de côté cette constante,

A A rx r2

Par le milieu O de 0,02, menons un plan S perpendiculaire à 0,02 : nous allons montrer que le flux à travers un élément

quelconque de S est nul, c'est-à-dire que --—- est nul tout le long

de S. En effet, soient P un point de S ; P< et P2 deux points placés sur la perpendiculaire en P à S, symétriquement par rapport à ce plan. La dérivée de <p prise normalement à S est la limite du

rapport

cp1

PiP2

quand les points P, et P2 tendent l'un vers l'autre, <p< et cp2 étant les valeurs de cp en ces points. Mais, par raison de symétrie, ®2= '•${-, et la limite est nulle.

Le plan S divise alors le liquide en deux parties, qui se meuvent indépendamment l'une de l'autre : l'un des mouvements est l'image de l'autre par rapport au plan S. On pourrait supprimer la partie du liquide placée d'un côté du plan, en remplaçant ce plan par une cloison; le mouvement de l'autre partie ne serait pas altéré. On aurait ainsi la solution de ce problème : Trouver le mouvement irrotationnel d'un liquide indéfini remplissant tout V espace situé dun côté d un plan fixe S, sachant que le