I. — PROPRIETES GENERALES

753. Hypothèses. ■*- Nous supposons un fluide parfait dans lequel la densité est fonction de la pression et qui est soumis à des forces dérivant d'une fonction de forces uniforme U. En posant comme au n° 729,

on obtient pour Q une fonction uniforme de #, y, z, t et l'on peut écrire les équations du mouvement, dans le système des variables de Lagrange,

C'est de cette forme d'équations que nous déduirons les théorèmes ; on peut donc dire que ces théorèmes s'appliquent toutes les fois que les accélérations d'un fluide dérivent d'un potentiel Q(j?, f, z, £), uniforme dans toute l'étendue du fluide à chaque instant.

loi. Lignes et surfaces fluides. — D'après ce que nous avons vu dans la théorie générale de la déformation d'un milieu continu, si des éléments fluides sont, à un instant £0, disposés sur une surface S0 ou sur une ligne L0, ces mêmes éléments sont encore, à

àQ

d*y dQ

dV-

~dt* =~ ~dy '

~dP- =

" Tz

un aulre instant quelconque t, sur une surface S ou sur une ligne L. Nous appellerons la surface S et la ligne L, qui varient de forme et de position avec t, une surface fluide et une Vigne fluide.

755. Constance de la circulation le long d'une ligne fluide fermée. — Considérons les particules fluides (#, b, c) qui, à l'instant initial t = o, sont situées sur une ligne fermée L0 ; à l'instant t, ces mêmes particules auront des coordonnées x, )', z fonctions de a, b, c, t et seront disposées sur une autre ligne fluide fermée L.

La circulation le long de la courbe L à l'inslant t est définie (n° 710) par l'intégrale

ci = ! u d.r -h v dy -h w dz,

prise le long de cette ligne. Dans cette intégrale t est constant et dx, dy, dz désignent les projections, sur les axes, d'un élément d'arc ds de la courbe L.

Lorsque t varie, la circulation, le long de la ligne fermée fluide L, reste constante. Pour démontrer ce théorème, nous mettrons l'intégrale ci sous une forme plus commode. A l'instant initial, les coordonnées a, b, c des éléments fluides placés sur L0 sont des fonctions

d'un paramètre A qu'il faut faire varier de a à [3 pour obtenir successivement tous les points de L0. A l'instant t les coordonnées x, y, z des éléments correspondants de la ligne fluide L sont des fonctions de a, b, c et t, c'est-à-dire de \ et t,

et X, doit varier de a à [3 pour que le point x, y, z décrive la courbe fermée L. Dès lors, en prenant \ comme variable dans l'inté-

grale ci, on a

C* ( dx dy dz\ „

Cette intégrale dépend de t parce que u, V, «>, — <-> -£j -^dépendent