CHAPITRE XXXV. — THÉORIE DES TOURRILLONS. 38g
de t. Calculons la dérivée de ci par rapport à t, en remarquant
!,,!,. -, , \ du dQ
que, cl après les équations du mouvement (2), -7- === — ~, • •• et,
dt dx
d'après le théorème sur l'interversion des dérivées partielles,
d ( dx\ du AT
2* (ai) = 3* Nous aurons
dci r ~dt ' .1.
dl.
' / dQ àx dQ dy dQ dz du dv àws
Ja \dx dl^ dy dl dz dl ^ dl * dl dl
ce qu'on peut écrire
dci r$ d t-z m2+p2+(v2\ ,.
-dt-) 5x(Q + ï )dl>
car Q peut être regardé comme fonction de X par l'intermédiaire de x,y, z. L'intégrale indéfinie est alors
et, comme elle est prise le long d'une courbe fermée, les deux limites a et (3 donnent le même point #, y, z, c'est-à-dire les mêmes valeurs aux fonctions Q, u, v, (v : l'intégrale est donc nulle. La dérivée de ci par rapport à t étant nulle, ci est constant.
Autre démonstration. — On peut rattacher ce théorème à l'équation qui a été donnée au n° 731 comme généralisant le théorème de Lagrange. Nous avons vu en effet que, t ayant une valeur déterminée et dx, dy, dz désignant les variations de x, y, z qui correspondent à des variations da, db1 de des coordonnées initiales, on a
u dx -h v dy 4- w dz — ( w0 da ■+- ç0 dû -+- w0 de) — dF.
Dès lors, intégrons les deux membres en faisant décrire au point géométrique a, b, c une courbe fermée L0 et en remarquant que le point correspondant x, y, z décrit la courbe L : l'intégrale du deuxième membre est nulle, car l'intégrale indéfinie F(a, b, c, t) prend les mêmes valeurs au commencement et à la fin de l'intégration, et l'on a
Jf u dx -+- v dy h- w dz = f u0 da H- c0 db -+- w0 de,
ce qui montre que la circulation le long de L conserve une valeur constante.
756. Expression de la circulation à l'aide du théorème de Stokes. Flux de tourbillon ou intensité tourbillonnaire. — Faisons à l'instant t passer par la courbe L une surface simplement connexe S dont cette courbe soit la limite. D'après le théorème du n° 539, dans l'expression duquel on remplace les fonctions P, Q, R par m, ç, w* on a
dx -h v dv -+- w dz
l dw a. - —
dws
\dx Oy J J
où l'intégrale double est étendue à tous les éléments d<7 de la surface S, a, j3, y désignant les cosinus directeurs de la normale à
17 ,\ , 1 r^ 1 • > àw dv , ,
J élément d<j. lomme les quantités — y ••• sont égales aux
1 dy dz °
doubles des projections £, Y}, Ç du vecteur tourbillon Q, on a
dw dv
Or
Oz
-+-...= 2(ajj-f- fa -+-7Ç) = 2Û„,
Qn désignant la projection du vecteur tourbillon au point d<j sur la normale à la surface S. On a donc, pour la circulation le long de la ligne L, la formule
ci = 1
ff°"
dz.
L'intégrale double du deuxième membre est ce que l'on appelle le flux de tourbillon à travers la portion de surface S, ou encore Y intensité tourbillonnaire de cette portion de surface.
On peut donc dire que la circulation le long d'une courbe fermée limitant une portion de surface est égale à V intensité 'tourbillonnaire de cette portion de surface.
Quand t varie, les particules situées sur la surface continue S se déplacent en formant une surface fluide limitée par les positions successives de la ligne fluide L. Le théorème sur la constance de la circulation le long d'une ligne fluide peut donc aussi s'énoncer
ainsi :
U intégrale double 1 I / ûn d<7 étendue à une surf ace fluide ne varie pas avec le temps, ou encore, le flux de tourbillon à
