CHAPITRE XXXV. — THÉORIE DES TOURBILLONS. 3g
Les lignes de tourbillon ont pour équations différentielles à l'instant t ,, dx dr dz
A l'instant initial t = o, elles ont pour équations différentielles
da db de
% 0 ri 0
Il faut d'abord montrer que les molécules qui, à l'instant initial, sont sur une ligne de tourbillon T0, sont à l'instant t sur une ligne de tourbillon T. La molécule qui, à l'instant t== o, a pour coordonnées a, b, c, possède au temps t les coordonnées x,y, z liées à a, b, c parles relations
x = f(a,b,c,t), y = fi(a,b,c, t), z = /»(«, b, c,,t).
Quand le point géométrique a, b, c se déplace sur T0 de da, db, de, le points, y, z subit un déplacement géométrique correspondant
dx = -— da -+- -T db -+- — de.
da ôb Oc
(io ) ( dy = -' - da -t- '-— db H — — de.
J da db de
dz = -— da 4 — 7 db + — de.
da db de
Le point a, b, c se déplaçant sur T0, da, db, de vérifient les relations (T0) et l'on a, en appelant À un facteur de proportionnalité,
(il) da = X£0, db = lrl0, de = X^0.
Alors, d'après (g) et (io),
! . / dx f. dx dx \ .
( dy dy dy \
relations qui montrent que dx, dy, dz- sont proportionnels à ç, r\, Ç,
4oo EQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
c'est-à-dire que le point géométrique X,y, z décrit une ligne de tourbillon T.
Ou peut montrer ensuite que l'intensité d'un tube tourbillonnaire infiniment délié se conserve dans le temps. Soient, en reprenant la figure (334) du n° 760, deux positions d'un même tube tourbillonnaire ; on peut toujours supposer que la première corresponde à l'instant initial et la seconde à un autre instant quelconque. Appelons #, b) c les coordonnées du point A, p0 la densilé en A} i20(ç0, rt(), Ç0) le tourbillon en ce point; a -h da, b-\-clb, c -f- de l<s coordonnées du point A', lQ ia longueur AA; et diQ la section droite du tube entre A et A;. Soient x, y , z les coordonnées du point A,, p la densité en Af , Q(Ç,ï|,Ç) le tourbillon en ce point ; x -j- dx, y + dy, z -f- dz les coordonnées de A', , / la longueur A, A\ etc/o-Ia section droite du second tube entre A4 et A',. Les points A, et A, sont les positions des points A et A' à l'instant t. Les équations (i i) signifient que les projections du segment AA' de longueur /Osont égales à celles du segment 0„ multipliées parX; on a donc
Jo = XQo.
De même les équations (12) donnent
