CHAPITRE XXXV. — THEORIE DES TOURBILLONS

vient occuper la nouvelle position A, B1 A', B't constituant un nouveau cylindre oblique d'arête Ai A', == /,, de section droite d<7{ et de densité p{. En écrivant que la masse de l'élément considéré n'a pas changé, on a la relation de continuité

p / di — pj /j d<j\.

D'autre part, l'intensité du tube étant constante dans le temps, on a, d'après (5),

où Q désigne le tourbillon dans l'élément ABA'B'et Q, dans l'élément A|BIA',B', . En rapprochant ces deux relations, on voit que

£ étant une constante infiniment petite indépendante de t.

Rapprochement avec les équations de Helmholtz. — La propriété exprimée par la relation (6) est la traduction géométrique des équations de Helmholtz établies dans le n° 737.

Supposons, en effet, que tt diffère infiniment peu de t. tl—t-i-d/: appelons x. y. z et x', y', z' les coordonnées des points A et A', a?i,jKi, ~i et x\,y\, z\ celles des points Aj et A\ (fig. 334).

g Le segment AA-' est égal à /, c'est-à-dire, d'après (6), à - 12 en grandeur,

P direction et sens; les projections du segment AA' sur les axes de coor-

£ r, l données sont donc e-j s-, s- et Ton a

Un calcul analogue donne

pi D'où l'on conclut

x\ — x' = Xi — X -+- z

Dans cette équation, on a

pi p *\p;

et, d'autre part, en désignant par u, v, w et u', v' , w' les projections des vitesses des deux points A et A', on a évidemment

x \ — x' = u! dt, Xi — x — u dt ; l'équation s'écrit donc

Enfin u' est facile à calculer d'après les expressions (7) des coordonnées du point A'. En effet, u(x, y. z, t) étant la projection sur Ox de la vitesse du point x, y, z au temps /, la projection u' de la vitesse du point A'(a?', y\ z') au même instant est

ou en développant par la formule de Taylor, s étant infiniment petit.

\ du y] du Ç dz/

p dr p a/ p d:

Portant cette valeur dans (8) on a l'équation

d f\ \ £ ()?£ y) du Ç dw dt \p / p dx p dy p dz

qui est identique à la première des équations (43) et (43') établies dans le n° 737.

761 . Démonstration de Kirchhoff; équations de Cauchy . — Dans ses Vorlesungen ùber mathematische Physik, p. 167, K.irchhoff démontre les théorèmes de Helmholtz en employant la méthode analytique suivante dont le point de départ est dans les équations de Cauchy (n° 730). Reprenons les relations de Cauchy entre le lonrbillon (£, 7), Ç) à l'instant t et le tourbillon ( Ç 0 -. ^ 0 ? ?o) >A l'instant initial :

, àx , àx dx

(^a ti& 0c1

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