CHAPITRE XXXV
l'instant £, (i3)
THKORIE D E S ï OUIlBILLO N S
ne contiennent pas £, car m, p5 w et, par suite, ç, rh Ç sont alors indépendants de t. Ces lignes forment donc, dans l'espace, au point de vue géométrique (fi g* 335), un système invariable de lignes T, T\, T2, ... tel qu'il en passe une et une seule par chaque point occupé parle fluide. Gela ne veut pas dire que les lignes de tourbillon considérées comme lignes fluides soient fixes : les par-
ticules fluides A, A|, A2, . . . qui, à un instant /, se trouvent sur la ligne géométrique de tourbillon T (fig. 335), se meuvent en continuant à former une ligne de tourbillon et sont à un autre instant £, sur une autre ligne géométrique de tourbillon T, ; à cet instant tt1 d'autres éléments fluides sont venus prendre la place des premiers sur la ligne géométrique T.
Dans le cas du mouvement permanent, les lignes de courant, à un instant £, définies par les équations différentielles
dx u
dy
dz
sont aussi indépendantes du temps et forment, au point de vue géométrique, un système invariable de lignes G, G,, G:t, ... tel qu'il en passe une par chaque point : ces lignes se confondent actuellement avec les trajectoires (n° 701); ce sont des lignes fluides fixes, en ce sens que les particules fluides, qui se trouvent au temps t sur une de ces lignes, suivent cette ligne dans leur mouvement. On a alors le théorème suivant :
Si le mouvement est permanent, il existe une infinité de surfaces fixes S sur lesquelles on peut tracer une infinité de lignes de courant et une infinité de lignes de tourbillon. III. 26
En effet, soit une ligne de tourbillon quelconque T ( fig. 335), imaginons les lignes de courant C, Ci} C2; . • • partant des divers points A, A,, A2, ... de T : ces lignes forment une surface S répondant à la question. Pour le montrer, considérons les éléments fluides qui, à un instant t, se trouvent en A, A,, A2, • . . sur T; ces éléments se meuvent en suivant respectivement les lignes de courant C, GM C2, ... et en formant une ligne de tourbillon qui se déplace et se déforme sur la surface S : par exemple, à l'instant tK , ces mêmes éléments sont en B, B,, B2, ... sur une ligne de tourbillon T, qui appartient évidemment à la surface S.
Equation des surfaces S. — Nous avons, dans le n° 737, écrit les équations du mouvement d'un fluide sous la forme donnée par Helmhollz
, K^ du . dH
(15) __h,(rj(.r,)=___, ..., .
où H désigne la fonction
h = iw2+ r ^ — u.
Le mouvement étant permanent, u% c, tv, p ne dépendent pas de t] en outre t ne figure pas dans la fonction des forces U, de sorte que H est une fonction de x, y, z. Les équations (i5) du mouvement peuvent alors s'écrire
I àli
lto=a(Çp -r'wh
1 dU (.6) < -^ =i{lw — lu ),
/ fM t c ^
Nous allons montrer que les surfaces S ont pour équation (17 ) H = const.
Pour cela, nous commencerons par montrer que H est constant le long d'une ligne de tourbillon et le long d'une ligne de courant.
Appelons dx, dy, dz les projections sur les axes d'un élément d'une ligne de tourbillon : d'après les équations (i3), ces projections sont proportionnelles à £, ri5 Ç et l'on a, en appelant \ la
