CHAPITRE XXXV. — THÉORIE DES TOURBILLONS

valeur commune des rapports (i3),

dx = ) ç, dy = Xtj, dz — XÇ ;

d'autre part, la variation de H le long de la ligne de tourbillon est

__ m . on du . , /rdu dH du\

d\\ = -j- dx-i- -r— dy -h — - dz — X £ h jj -5 h Ç -- ;

d.r djK àz \ dx dy dz J

d'après les équations (16), cette variation est évidemment nulle et H est constant le long de la. ligne de tourbillon.

De même, si l'on appelle dx, dy, dz les projections d'un élément d'une ligne de courant (i4), on a, en appelant p. la valeur commune des rapports ( 1 4)?

dx = [in, dy — [±v, dz = [iw] d'où, pour la variation de H le long d'une ligne de courant,

ôll , dU , ÔH , / d\\ d\\ dH\

dll = — dx -+- — — dy h — — dz = u.( u h v — h w — - ,

dx ày' dz l \ dx dy dz J

quantité nulle d'après les équations (16); H est donc constant le long d une ligne de courant. C'est ce que nous avons déjà vu au n° 742.

Il est alors aisé de voir que H a une valeur constante sur une surface S : en effet, H a une valeur constante sur une ligne de tourbillon T tracée sur cette surface et une valeur constante sur une ligne de courant G de cette même surface; ces deux valeurs sont égales, car les deux lignes ont un point commun A. Le théorème est donc démontré.

Remarque. — Si le mouvement permanent était irrotationnel, le tourbillon £, rn Ç serait nul; alors H serait constant dans tout l'espace occupé par le fluide; c'est le théorème du n° 747.