CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL
on, sous forme abrégée,
AU = o.
En effet, en appelant #, , 6, , c{ les coordonnées du point fixe mK ,
donc
'•i v/(^-a1)2^-(r-61)2+(--Cl/2, Ci — 3 ^'r ~ai)2 [
ri , fr -M2 •
n 0(z-ci¥ I
ds2 r; r(
Ajoutant ces trois expressions, on trouve zéro dans le deuxième membre. Donc
De même
''2 rn
Or, d'après l'expression de U,
AU = nii A — ■+- m? A h ... -h mn A — ,
'*i " '2 rn
donc
AU = o.
559. Autre démonstration du théorème de Gauss. — La démonstration du n° 556 a un caractère élémentaire; en voici une autre reposant sur l'équation de Laplace.
i° Soit d'abord une surface fermée S ne contenant dans son intérieur aucun des centres attractifs. Le flux de force à travers cette surface, de l'intérieur vers l'extérieur, est
la dérivée étant prise suivant la normale extérieure. La fonction U
ainsi que ses dérivées premières et deuxièmes, élanl uniforme et finie dans S, on a, d'après la formule (4) du n° 538,
J Js dnC J J Jy
Finlégrale triple étant étendue au volume V limité par S. Mais
on a
l'intégrale triple est donc nulle et il en est de même de l'intégrale double. Le Jlux de force est donc nul.
2° Soit maintenant une surface fermée S contenant dans son intérieur certains des centres attractifs mti m2<, . .., nxp. Le flu\ de force à travers cette surface de l'intérieur vers l'extérieur est
fff
dV dix
dï,
la dérivée étant prise vers l'extérieur. La fonction (J n'est pas continue dans tout l'intérieur de S, car elle devient infinie aux points m{ , m2, ..., nip (Jig. 288). De ces points comme centres res-
Fiar. 2S8.
pectifs décrivons des sphères s,, s2, ..., sp de rayons très petits, considérons le volume V intérieur à la surface S et extérieur à ces sphères. Ce volume est limité par les surfaces S, .s,, s2l ..., sp. Dans ce volume la fonction U est continue, ainsi que ses dérivées; on a donc, d'après la formule (4) du n° o38,
ri
dU
- j — et J*
dix
AU^/t.
la première intégrale étant étendue à l'ensemble des surfaces S,
