CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL

S\ , 52, • . -, sp et la deuxième au volume V. Mais on a

AU = o, donc l'intégrale triple est nulle et l'on peut écrire d\]

— - de? — o,

en décomposant l'intégrale double en ses diverses parties. Dans cette formule, les dérivées de U sont prises suivant les normales extérieures au volume V : sur chaque surface sphérique la dérivée est donc prise vers l'intérieur de la sphère. Calculons l'intégrale

dV J

an

'-fi

étendue à l'aire de la sphère st. On peut écrire

ni\

où U, est une fonction'continue dans s, , car c'est le potentiel des masses a??2, ms, . .., mn, dont aucune n'est dans la sphère s{. On a alors

—~ df-h / / —z-ldf an ! 1 dn

La deuxième intégrale est nulle d'après le premier cas examiné, car c'est le flux de force à travers st provenant des masses m2, /y?3, . . ., /??„, toutes extérieures à s{. Quant à la première, comme la normale intérieure à la sphère en un point P coïncide avec le rayon P /?z 1 , on a, en appelant j{ la distance du point P au centre mK et r, + drK la distance au centre du point P' infiniment voisin de P sur la normale P/ft*,

dn — PP'

ctr

dn± dn

Donc

drv

*-m*L%fX'

ni\

= — / / d* = "" Y^7zrl== 4™»*i>

ri

car, sur la sphère s, la distance r{ est constante et la somme des éléments dd est l'aire de la sphère 4~'*r Les autres intégrales

figurant dans l'équation (4) sont de même égales à /\-m2. /{Tz/zip, et cette équation donne finalement

dV

fl

df = — 4 ic ( ni\ H- m9 -h . . • 4- m ,,) = — \ ~ M '.

M7 désignant la somme des masses attirantes intérieures à S. Le lliéorème est ainsi démontré.