CHAPITRE XXXV. — THÉORIE DES TOURBILLONS

pour déterminer ces quatre fonctions, on peut assujettir ces fonctions à remplir une condition supplémentaire que nous choisissons ainsi : en posant, comme au n° 767,

dP dQ oR

dx dy dz nous ferons

On a alors, comme au n° 767,

dw dv dM

dy dz dx

Comme M est nul, ces relations deviennent

AP=— i\, AQ = — 2 y), AR= — 2Ç, d'où

(72) ?^s//Jf*« ••-

Ces expressions de P, Q, R entraînent d'elles-mêmes, comme nous l'avons vu, la condition M = o.

11 reste à écrire la dernière des équations (6g) exprimant que la vitesse de dilatation cubique est donnée. On a ainsi, en remplaçant u, p, w par leurs expressions (70),

d'où, en se reportant à la théorie du potentiel newtonien,

G' étant la valeur de 9 dans l'élément di = dx' dy' dz' et ?* désignant comme plus haut la distance

r = vV - *')* + (7 —y'f + (* - *')2-

Les fonctions P, Q, R, $ étant ainsi calculées, les formules (70) donnent w, v, w.

En interprétant ces formules, on voit que le vecteur vitesse W(w, p, w) est la somme de deux vecteurs, le premier W' ayant

pour projections

ax

le deuxième

ayant pour

proj

ections

dy

Les vitesses W; dérivent du potentiel <ï> déiini par la relation (73)*, elles sont identiques aux attractions newtoniennes qui

seraient exercées sur un point de masse 1 par une masse continue

fi' ayant pour densité — — aux divers points x\ y' , z' de l'espace.

Quant aux vecteurs Wf/, leur distribution a été étudiée en détail au n° 768; nous y avons vu quelle est la part contributive de chaque élément tourbillonnaire di dans la vitesse Wf/ d'un point quelconque.

Analogie électromagnétique . — Le vecteur W; est identique

fi' à la force magnétique due à une distribution de densité — — ; le

1 4it

vecteur W" est, comme nous l'avons vu p. 421> identique à la force électromagnétique produite par une distribution de courants électriques suivant les tubes de tourbillon.

Espace limité. — Les conclusions précédentes s'appliquent à un fluide occupant un espace illimité dans tous les sens. Pour un espace limité par une surface fixe S, on peut procéder comme dans le cas d'un liquide (n°775). INous renverrons, pour les développements relatifs à cette question, à un Mémoire de Boltzmann (1871) et au Travail déjà plusieurs fois cité de M. Brillouin, Recherches récentes d' hydrodynamique {Annales de la Faculté de Toulouse, 1 89 1 ).

777. Production expérimentale des tourbillons. — On trouvera, dans ce même Travail de M. Brillouin, d'intéressantes indications sur la production expérimentale des tourbillons. Nous lui emprunterons le passage suivant :

Pour lancer une masse de gaz animée d'un mouvement de rotation, on profite du frottement superficiel et interne; pour la rendre visible, on la charge de fumée. Tait et Thomson ont vulgarisé un appareil formé d'une grande boîte cubique en bois dont une face a été remplacée par de la toile