CHAPITRE XXXV. — THÉORIE DES TOURBILLONS

et S' qui comprennent la couche; on aura

dz — s da,

et la deuxième intégrale deviendra une intégrale double étendue à tous les éléments da de S

mais d'après les formules (67), la valeur de 2e?, dans la couche, est Y^ — p«V En remplaçant e£' par cette valeur, on a enfin

■mj J J\ r 4irJ Ja r

la première intégrale étant étendue au volume V, la deuxième à la surface limite S. On a de même Q et R.

Les fonctions P, Q, R étant connues, les composantes de la vitesse se calculent par les formules (23) du n° 767. Seulement les formules ainsi obtenues présentent cet inconvénient d'exiger la connaissance des vitesses ( u{ , e4 , w4 ) à la paroi, et ces vitesses ne font pas partie des données qui sont seulement les tourbillons.

776. Fluide compressible. — Nous avons montré que, pour un liquide dans un vase fixe simplement connexe et, en particulier, pour un liquide indéfini dans tous les sens, le problème n'a qu'une solution. Pour un fluide compressible placé dans les mêmes conditions, le problème n'a qu'une solution, à condition que l'on connaisse, en outre, la vitesse de dilatation,

du dv dw dx dy dz

en chaque point. En effet, il ne peut y avoir, pour les vitesses, deux solutions différentes (uiy vt, w{) et (u2, v2, w2). Car, comme on l'a vu au n° 766, la différence géométrique de ces vitesses U\ — u2y vK — v2, W\ — w2 dériverait d'un potentiel cp ; ce potentiel, puisque 9 est donné et a la même valeur dans les deux solutions, vérifierait la condition

du\ dv\ dw\ du2 dv% àw% dx dy Oz dx dy dz

l|b EQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS

ào

ùx

, ào ,

qui, en transposant et remplaçant u{ — u2 par y- , • • •> donnerait

Acp — o ; enfin, sur la surface limite, on aurait

do dn

Dans ces conditions <p serait constant et les différences u{ — u2, v{ — p2, W\ — «>2 nulles.

Si le vase était à connexion multiple, il faudrait se donner, en outre, les modules relatifs aux diverses sortes de contours fermés qu'on peut tracer dans le vase, comme au n° 766.

Fluide compressible indéfini. — Prenons, par exemple, le cas d'un fluide compressible indéfini dans tous les sens et supposons qu'on connaisse ç, rn Ç, 6 aux divers points de l'espace, les vitesses étant supposées continues.

Le problème est de trouver des fonctions «, t>, w, de x, y, z s'annulantà l'infini et vérifiant les équations

/ ÙW ÔV y

dy dz

du dw

dz dx ^

1 àv du

dx dy s '

du dv dw

dx dy dz

où £, rn Ç, 9 sont donnés en fonction de #, y, z. En généralisant les formules du n° 767, on pose

d& dR

dx dy

dQ

dz

d<S> dP

dy dz

dR

dx

cM> àQ

oz dx

dP ày'

P, O, R, <ï> étant quatre fonctions de x, y, z. Comme, en supposant m, v, w connus, on aurait seulement les trois équations (70)