V. - NOTATIONS DE CLEBSCH
778. Propriété analytique des surfaces de tourbillon. — Quand il n'existe pas de potentiel des vitesses, le flux élémentaire
u dx -h v dy -h w dz
n'est pas une différentielle totale d'une fonction de trois variables. Cherchons si, à un instant quelconque t, il existe des surfaces sur lesquelles le flux élémentaire est une différentielle totale d'une fonction de deux variables; nous allons voir que ces surfaces sont précisément les surfaces de tourbillon à cet instant.
En effet, sur une surface S, on peut toujours exprimer xy y, z en fonc- III. 29
tion de deux variables indépendantes X et \i. Dans ces conditions,
dx
dX = -r^r d\
dk
du
du.
L'expression u dx -+- v dy -h w dz prend alors la forme L dk -b M du et
du dk
àh dm
en écrivant cru elle est une ditierentielle exacte — :r- = o, on a la
condition
d / dx dy dz\ d / dx dy 0:
« — +P'^-+«'tt — -^ [il - h V -f- -+- W — I == O,
dk dk dk \ du du Ou'
du \ dk ou, en développant,
du dx du dx du dk dk du
Mais u, v, w sont fonctions de X et u par l'intermédiaire de x, y. z:
on a donc
du du dx du dy du dz
du dx du dy d[j. dz du
En substituant et réduisant, on trouve
f dy dz dz dy\ / dz
' \d), du~~ ~0~k dju) ~73 [dk
dx dx dz \ / dx dy dy dx \
du dk du/ \dk du dk du)
Celte dernière condition exprime que la normale à la surface S en un point est perpendiculaire au tourbillon £, Y), Ç en ce point, on encore que le tourbillon est tangent à la surface. La surface S est donc bien une surface de tourbillon.
En partant de cette propriété, on démontrerait aisément que la circulation est nulle sur toute courbe fermée tracée sur une surface de tourbillon, de façon à pouvoir se réduire à un point par déformation continue sur la surface. (Théorème du n° 757.)
779. Notations de Clebsch. — Dans deux Mémoires parus au Journal de Crelle, en 1 856 et i858, Clebsch a employé une forme particulière des équations qui repose sur le théorème d'Analyse suivant :
Soient u, v, w trois fonctions quelconques de x, y, z, il existe toujours trois fonctions cp, m, <\> des mêmes variables telles que l'on ait identiquement
u dx -h v dy -f
dk
do -h m d<h.
Soit tl» = const. une famille de surfaces de tourbillon ;
X = const.,
const.
