CHAPITRE XXXV. — THÉORIE DES TOURBILLONS

deux autres familles de surfaces; ty, X et \x seront des fonctions de x, y, z telles que, par chaque point de l'espace, il passe une surface de chaque famille. Alors, inversement, on pourra exprimer a?, y, z en fonction de ^, X et [X, et l'on aura une identité de la forme

( y 5 ) u dx h- v dy -+- w dz = L d\ -+- M d\i -+- N dty,

L, M, N étant trois fonctions de X, \x, ^. Mais, d'après la propriété des surfaces de tourbillon établie dans le numéro précédent, le premier membre devient une différentielle exacte d'une fonction de X et p. sur une surface de tourbillon quelconque et, en particulier, sur la surface

<\i = const., d<\> = o.

Donc, ty étant constant,

L d\ -+- M dix

est une différentielle exacte d'une fonction cp de X et p.; cette fonction cp contient d'ailleurs la constante <]>, de sorte que cp dépend de X, p., <\i et l'on a

oA dp

L^4-Mflfu--|<A+-i du..